AP 10th Class Maths Some Applications of Trigonometry Solutions — అధ్యాయం 9 లోని Exercise 9.1 (ఎత్తులు, దూరాలు) లోని 15 ప్రశ్నలకు దశలవారీ జవాబులు, ప్రతి లెక్కకు ఏ నిష్పత్తి వాడాలో వివరణతో. ప్రశ్నలు AP SCERT పుస్తకంలో ఉన్నట్టే ఇంగ్లీష్‌లో, వివరణ తెలుగులో; అవసరమైన చోట సుమారు విలువ కూడా ఇచ్చాం.
పదో తరగతి గణితం Statistics, Probability జవాబుల పేజీలు రాగానే లింక్ రావాలంటే WhatsApp గ్రూప్‌లో చేరండి
ఈ పేజీలో: అధ్యాయంలో ఏముంది | లెక్క చేసే పద్ధతి | Exercise 9.1 | మార్కులు పోయే చోట్లు | FAQs
AP 10th Class Maths Some Applications of Trigonometry Solutions — ఈ అధ్యాయంలో ఏముంది
| అంశం | వివరం |
|---|---|
| ఎక్సర్‌సైజ్ | Exercise 9.1 ఒక్కటే, 15 ప్రశ్నలు |
| ముఖ్య భావనలు | ఉన్నతి కోణం (angle of elevation), అవనతి కోణం (angle of depression), దృష్టి రేఖ (line of sight) |
| వాడే నిష్పత్తులు | ఎక్కువగా tan; కర్ణం (తాడు, దారం, జారుడు బల్ల) ఉంటే sin లేదా cos |
| వాడే కోణాలు | 30°, 45°, 60° మాత్రమే |
SA1 కి ఎందుకు ముఖ్యం: Some Applications of Trigonometry అక్టోబర్‌లో బోధించే అధ్యాయం, ఏ FA లోనూ రాలేదు, SA1 సిలబస్‌లో ఉంది (AP SA1 Syllabus 2026-27 చూడండి). ఇక్కడి 15 ప్రశ్నల పాఠం AP SCERT 10వ తరగతి గణితం Semester 2 పాఠ్యపుస్తకం నుంచే తీసుకున్నాం. ముందు అధ్యాయంలోని విలువల పట్టిక AP 10th Class Maths Introduction to Trigonometry Solutions లో ఉంది.
ఎత్తులు, దూరాల లెక్క — నాలుగు అడుగులు
- బొమ్మ వేయండి: ఎత్తు నిలువు గీత, దూరం నేల మీద అడ్డ గీత, దృష్టి రేఖ కర్ణం. లంబకోణం ఎక్కడో గుర్తు పెట్టండి.
- కోణం ఎక్కడ ఉందో చూడండి: ఉన్నతి కోణం కింది నుంచి పైకి చూసినప్పుడు, అవనతి కోణం పై నుంచి కిందకు చూసినప్పుడు. అవనతి కోణం కింద బిందువు దగ్గర ఉన్నతి కోణంగా మారుతుంది (ఏకాంతర కోణాలు).
- నిష్పత్తి ఎంచుకోండి: ఎత్తు, దూరం రెండూ ఉంటే tan; కర్ణం ఉంటే sin (ఎత్తుతో) లేదా cos (దూరంతో).
- కళ్ళ ఎత్తు తీసేయండి: మనిషి ఎత్తు ఇస్తే (6, 14 ప్రశ్నలు), భవనం లేదా బెలూన్ ఎత్తులో నుంచి దాన్ని తీసేసి లెక్క చేయాలి.
ఉన్నతి కోణం, అవనతి కోణం తేడా, tan 30°, 45°, 60° విలువలు, ఏ ప్రశ్నలో ఏది — ఒకే చిత్రంలో.
AP 10th Class Maths Some Applications of Trigonometry Exercise 9.1 Solutions
పుస్తకంలోని ప్రశ్న సంఖ్యలే ఇక్కడ ఉన్నాయి. 1, 3, 5 ప్రశ్నల్లో కర్ణం ఇచ్చారు కాబట్టి sin; మిగతా వాటిలో ఎక్కువగా tan వస్తుంది.
1. A circus artist is climbing a 20 m long rope, which is tightly stretched and tied from the top of a vertical pole to the ground. Find the height of the pole, if the angle made by the rope with the ground level is 30° (see Fig. 9.11).
జవాబు చూడండి
sin 30° = h/20 ⇒ h = 20 × 1/2 = 10 m
2. A tree breaks due to storm and the broken part bends so that the top of the tree touches the ground making an angle 30° with it. The distance between the foot of the tree to the point where the top touches the ground is 8 m. Find the height of the tree.
జవాబు చూడండి
tan 30° = AB/8 ⇒ AB = 8/√3 m; cos 30° = 8/AC ⇒ AC = 16/√3 m
చెట్టు అసలు ఎత్తు = AB + AC = 24/√3 = 8√3 m (సుమారు 13.86 m)
3. A contractor plans to install two slides for the children to play in a park. For the children below the age of 5 years, she prefers to have a slide whose top is at a height of 1.5 m, and is inclined at an angle of 30° to the ground, whereas for elder children, she wants to have a steep slide at a height of 3m, and inclined at an angle of 60° to the ground. What should be the length of the slide in each case?
జవాబు చూడండి
చిన్న పిల్లలకు: sin 30° = 1.5/l ⇒ l = 3 m
పెద్ద పిల్లలకు: sin 60° = 3/l ⇒ l = 6/√3 = 2√3 m (సుమారు 3.46 m)
4. The angle of elevation of the top of a tower from a point on the ground, which is 30 m away from the foot of the tower, is 30°. Find the height of the tower.
జవాబు చూడండి
5. A kite is flying at a height of 60 m above the ground. The string attached to the kite is temporarily tied to a point on the ground. The inclination of the string with the ground is 60°. Find the length of the string, assuming that there is no slack in the string.
జవాబు చూడండి
sin 60° = 60/L ⇒ L = 120/√3 = 40√3 m (సుమారు 69.28 m)
6. A 1.5 m tall boy is standing at some distance from a 30 m tall building. The angle of elevation from his eyes to the top of the building increases from 30° to 60° as he walks towards the building. Find the distance he walked towards the building.
జవాబు చూడండి
30° దగ్గర దూరం = 28.5/tan 30° = 28.5√3; 60° దగ్గర దూరం = 28.5/tan 60° = 28.5/√3
నడిచిన దూరం = 28.5(√3 − 1/√3) = 28.5 × 2/√3 = 57/√3 = 19√3 m (సుమారు 32.91 m)
7. From a point on the ground, the angles of elevation of the bottom and the top of a transmission tower fixed at the top of a 20 m high building are 45° and 60° respectively. Find the height of the tower.
జవాబు చూడండి
టవర్ ఎత్తు h అయితే tan 60° = (20 + h)/20 ⇒ 20 + h = 20√3
h = 20(√3 − 1) m (సుమారు 14.64 m)
8. A statue, 1.6 m tall, stands on the top of a pedestal. From a point on the ground, the angle of elevation of the top of the statue is 60° and from the same point the angle of elevation of the top of the pedestal is 45°. Find the height of the pedestal.
జవాబు చూడండి
tan 60° = (h + 1.6)/h ⇒ √3 h = h + 1.6 ⇒ h = 1.6/(√3 − 1)
హేతుబద్ధీకరిస్తే h = 1.6(√3 + 1)/2 = 0.8(√3 + 1) m (సుమారు 2.19 m)
9. The angle of elevation of the top of a building from the foot of the tower is 30° and the angle of elevation of the top of the tower from the foot of the building is 60°. If the tower is 50 m high, find the height of the building.
జవాబు చూడండి
టవర్ అడుగు నుంచి భవనం పైభాగానికి: tan 30° = H/d ⇒ H = d/√3 = 50/3
భవనం ఎత్తు = 50/3 m (సుమారు 16.67 m)
10. Two poles of equal heights are standing opposite each other on either side of the road, which is 80 m wide. From a point between them on the road, the angles of elevation of the top of the poles are 60° and 30°, respectively. Find the height of the poles and the distances of the point from the poles.
జవాబు చూడండి
h = x tan 60° = √3 x; h = (80 − x) tan 30° = (80 − x)/√3
3x = 80 − x ⇒ x = 20
స్తంభాల ఎత్తు 20√3 m; బిందువు నుంచి దూరాలు 20 m, 60 m
11. A TV tower stands vertically on a bank of a canal. From a point on the other bank directly opposite the tower, the angle of elevation of the top of the tower is 60°. From another point 20 m away from this point on the line joing this point to the foot of the tower, the angle of elevation of the top of the tower is 30° (see Fig. 9.12). Find the height of the tower and the width of the canal.
జవాబు చూడండి
h = √3 x; h = (x + 20)/√3 ⇒ 3x = x + 20 ⇒ x = 10
కాలువ వెడల్పు 10 m, టవర్ ఎత్తు 10√3 m (సుమారు 17.32 m)
12. From the top of a 7 m high building, the angle of elevation of the top of a cable tower is 60° and the angle of depression of its foot is 45°. Determine the height of the tower.
జవాబు చూడండి
భవనం పై నుంచి టవర్ పైభాగానికి అదనపు ఎత్తు = 7 tan 60° = 7√3 m
టవర్ ఎత్తు = 7 + 7√3 = 7(√3 + 1) m (సుమారు 19.12 m)
13. As observed from the top of a 75 m high lighthouse from the sea-level, the angles of depression of two ships are 30° and 45°. If one ship is exactly behind the other on the same side of the lighthouse, find the distance between the two ships.
జవాబు చూడండి
30° అవనతి: దూరపు ఓడ దూరం = 75/tan 30° = 75√3 m
ఓడల మధ్య దూరం = 75(√3 − 1) m (సుమారు 54.9 m)
14. A 1.2 m tall girl spots a balloon moving with the wind in a horizontal line at a height of 88.2 m from the ground. The angle of elevation of the balloon from the eyes of the girl at any instant is 60°. After some time, the angle of elevation reduces to 30° (see Fig. 9.13). Find the distance travelled by the balloon during the interval.
జవాబు చూడండి
60° దగ్గర సమాంతర దూరం = 87/√3 = 29√3; 30° దగ్గర = 87√3
బెలూన్ ప్రయాణించిన దూరం = 87√3 − 29√3 = 58√3 m (సుమారు 100.46 m)
15. A straight highway leads to the foot of a tower. A man standing at the top of the tower observes a car at an angle of depression of 30°, which is approaching the foot of the tower with a uniform speed. Six seconds later, the angle of depression of the car is found to be 60°. Find the time taken by the car to reach the foot of the tower from this point.
జవాబు చూడండి
6 సెకన్లలో ప్రయాణించిన దూరం = h√3 − h/√3 = 2h/√3. వేగం = (2h/√3)/6 = h/(3√3)
మిగిలిన దూరం h/√3 కి పట్టే సమయం = (h/√3) ÷ (h/(3√3)) = 3 సెకన్లు
Heights and Distances లెక్కల్లో మార్కులు ఎక్కడ పోతాయి
- బొమ్మ లేకపోవడం: బొమ్మ వేస్తే ఏ నిష్పత్తి వాడాలో తేలిగ్గా తెలుస్తుంది, దిద్దేవారికి మీ పద్ధతి కూడా స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. బొమ్మలో ఇచ్చిన కొలతలు, కోణాలు రాయండి.
- అవనతి కోణాన్ని తప్పు చోట పెట్టడం: 12, 13, 15 ప్రశ్నల్లో అవనతి కోణం పై బిందువు దగ్గర ఉంటుంది; త్రిభుజం లోపల అది కింద బిందువు దగ్గరి ఉన్నతి కోణానికి సమానం.
- కళ్ళ ఎత్తు మర్చిపోవడం: ప్రశ్న 6 లో 30 m కాదు, 28.5 m; ప్రశ్న 14 లో 88.2 m కాదు, 87 m.
- జవాబు రూపం: 20/√3 లాంటివి 20√3/3 గా హేతుబద్ధీకరించాలి. సుమారు విలువ అడిగితేనే √3 = 1.732 వేయండి.
- యూనిట్లు: చివరి జవాబుకు m లేదా సెకన్లు రాయడం మర్చిపోకండి.
మిగతా అధ్యాయాల జవాబులు AP 10th Class Maths Solutions హబ్‌లో, అధ్యాయాల వారీ నోట్స్ AP 10th Class Maths Study Material PDF లో ఉన్నాయి. Coordinate Geometry అధ్యాయం కోసం Coordinate Geometry Solutions చూడండి.
తర్వాత ఏం చదవాలి
- AP 10th Class Maths Introduction to Trigonometry Solutions — ఈ అధ్యాయానికి ముందు చదవాల్సిన విలువలు, సర్వసమీకరణాలు
- AP 10th Class SA1 Maths Question Paper 2026-27 — ఎత్తులు, దూరాల ప్రశ్నతో SA1 నమూనా పేపర్
- 10th Class Maths Important Questions with Answers — మిగతా అధ్యాయాల ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు
FAQs
Some Applications of Trigonometry లో ఎన్ని ప్రశ్నలు ఉన్నాయి?
AP SCERT Semester 2 పుస్తకంలో Exercise 9.1 ఒక్కటే, అందులో 15 ప్రశ్నలు. అన్నింటి జవాబులు ఈ పేజీలో ఉన్నాయి.
ఈ అధ్యాయం SA1 లో వస్తుందా?
అవును. SCERT అకడమిక్ క్యాలెండర్ ప్రకారం అక్టోబర్‌లో బోధించే అధ్యాయం, SA1 సిలబస్‌లో భాగం.
ఉన్నతి కోణం (angle of elevation) అంటే ఏమిటి?
కంటి కంటే పైన ఉన్న వస్తువును చూసినప్పుడు, దృష్టి రేఖ అడ్డ రేఖతో చేసే కోణం.
అవనతి కోణం (angle of depression) అంటే ఏమిటి?
కంటి కంటే కింద ఉన్న వస్తువును చూసినప్పుడు, దృష్టి రేఖ అడ్డ రేఖతో చేసే కోణం. 12, 13, 15 ప్రశ్నలు ఇదే.
ఎప్పుడు tan, ఎప్పుడు sin వాడాలి?
ఎత్తు, నేల మీద దూరం రెండూ ఉంటే tan. తాడు, దారం, జారుడు బల్ల లాగా వాలుగా ఉన్న పొడవు (కర్ణం) ఉంటే sin లేదా cos.
చెట్టు విరిగిన ప్రశ్న (ప్రశ్న 2) లో చెట్టు ఎత్తు ఎంత?
8√3 m. నిలబడిన భాగం 8/√3 m, విరిగిన భాగం 16/√3 m; రెండూ కలిపితే 24/√3 = 8√3.
కారు ప్రశ్న (ప్రశ్న 15) జవాబు ఎంత?
3 సెకన్లు. టవర్ ఎత్తు తెలియకపోయినా h అని తీసుకుంటే అది చివర్లో కొట్టుకుపోతుంది.
√3 విలువ ఎంత వేయాలి?
ప్రశ్నలో ఇస్తే అదే; లేకపోతే సాధారణంగా 1.732. జవాబును ముందు √3 రూపంలో రాసి, తర్వాత సుమారు విలువ ఇవ్వండి.
కళ్ళ ఎత్తు ఎప్పుడు తీసేయాలి?
చూసే వ్యక్తి ఎత్తు ఇచ్చినప్పుడు (ఉదా: 1.5 m అబ్బాయి, 1.2 m అమ్మాయి). కళ్ళ దగ్గర నుంచి కొలిచిన ఎత్తే త్రిభుజంలో వస్తుంది.
ఈ అధ్యాయానికి ముందు ఏమి తెలిసి ఉండాలి?
0°, 30°, 45°, 60°, 90° దగ్గర sin, cos, tan విలువలు. అవి ముందు అధ్యాయం Introduction to Trigonometry పేజీలోని పట్టికలో ఉన్నాయి.
బొమ్మ (figure) వేయకపోతే మార్కులు తగ్గుతాయా?
ఎత్తులు, దూరాల లెక్కల్లో బొమ్మే సగం పని. బొమ్మ లేకుండా సరైన నిష్పత్తి ఎంచుకోవడం కష్టం, కాబట్టి ప్రతి లెక్కకూ చిన్న బొమ్మ వేయడం అలవాటు చేసుకోండి.
మూలం: AP SCERT 10వ తరగతి గణితం పాఠ్యపుస్తకం (Semester 2, అధ్యాయం 9). అధికారిక పాఠ్యపుస్తకాలు, పాఠశాల విద్యాశాఖ సమాచారం కోసం Commissionerate of School Education, Andhra Pradesh సైట్ చూడండి.