AP 10th Class Maths Triangles Solutions – Exercise 6.1, 6.2, 6.3

AP 10th Class Maths Triangles Solutions — అధ్యాయం 6 (త్రిభుజాలు) లోని Exercise 6.1, 6.2, 6.3 లోని మొత్తం 29 ప్రశ్నలకు దశలవారీ జవాబులు. ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం (BPT), దాని విపర్యయం, AA, SSS, SAS సరూపత నియమాలు ఏ ప్రశ్నలో ఎలా వాడాలో ప్రతి నిరూపణలో కారణంతో సహా రాశాం. ప్రశ్నలు AP SCERT పుస్తకంలో ఉన్నట్టే ఇంగ్లీష్‌లో, వివరణ తెలుగులో.

ఈ పేజీలో: అధ్యాయంలో ఏముంది | BPT, సరూపత నియమాలు | Exercise 6.1 | Exercise 6.2 | Exercise 6.3 | మార్కులు పోయే చోట్లు | FAQs

AP 10th Class Maths Triangles Solutions — ఈ అధ్యాయంలో ఏముంది

BPT, త్రిభుజాల సరూపత నియమాలు

1. సరూప పటాలు: ఆకారం ఒకటే, పరిమాణం వేరు కావచ్చు. సర్వసమాన పటాలు అన్నీ సరూపాలే, కానీ సరూప పటాలు అన్నీ సర్వసమానాలు కావు.
2. BPT (Theorem 6.1): ΔABC లో DE || BC అయితే AD/DB = AE/EC.
3. BPT విపర్యయం (Theorem 6.2): AD/DB = AE/EC అయితే DE || BC. “సమాంతరం అని చూపండి” అనే ప్రశ్నలకు ఇదే (6.2 లో 5, 6, 8, 10).
4. AA: రెండు కోణాలు సమానమైతే త్రిభుజాలు సరూపం. 6.3 లో ఎక్కువ ప్రశ్నలు ఇదే.
5. SSS: మూడు భుజాల నిష్పత్తి ఒకటే అయితే సరూపం.
6. SAS: రెండు భుజాల నిష్పత్తి ఒకటే, వాటి మధ్య కోణం సమానం అయితే సరూపం.

BPT బొమ్మ, దాని విపర్యయం, AA, SSS, SAS నియమాలు — ఒకే చిత్రంలో. పరీక్ష ముందు రోజు చూసుకోవడానికి సేవ్ చేసుకోండి.

AP 10th Class Maths Triangles Exercise 6.1 Solutions (Similar Figures)

చిన్న ఎక్సర్‌సైజ్. సరూపం కావాలంటే కోణాలు సమానం, భుజాలు అనుపాతం రెండూ కావాలనే విషయమే ఇక్కడ ముఖ్యం.

1. Fill in the blanks using the correct word given in brackets :
(i) All circles are ______. (congruent, similar)
(ii) All squares are ______. (similar, congruent)
(iii) All ______ triangles are similar. (isosceles, equilateral)
(iv) Two polygons of the same number of sides are similar, if (a) their corresponding angles are ______ and (b) their corresponding sides are ______. (equal, proportional)

2. Give two different examples of pair of
(i) similar figures. (ii) non-similar figures.

3. State whether the following quadrilaterals are similar or not:
(బొమ్మలో: PQRS భుజాలు అన్నీ 1.5 cm, కోణాలు 90° కావు; ABCD భుజాలు అన్నీ 3 cm, అన్ని కోణాలు 90°)

AP 10th Class Maths Triangles Exercise 6.2 Solutions (BPT)

మొదటి రెండు ప్రశ్నలు లెక్కలు, మిగతావి నిరూపణలు. పుస్తకంలోని బొమ్మల కొలతలు, బిందువుల స్థానాలు ప్రశ్న కిందే బ్రాకెట్‌లో ఇచ్చాం.

1. In Fig. 6.17, (i) and (ii), DE || BC. Find EC in (i) and AD in (ii).
(బొమ్మలో: (i) AD = 1.5 cm, DB = 3 cm, AE = 1 cm; (ii) DB = 7.2 cm, AE = 1.8 cm, EC = 5.4 cm)

2. E and F are points on the sides PQ and PR respectively of a Δ PQR. For each of the following cases, state whether EF || QR :
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm and FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm and RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm and PF = 0.36 cm

3. In Fig. 6.18, if LM || CB and LN || CD, prove that AM/AB = AN/AD.
(బొమ్మలో: AC కర్ణంగా ΔABC, ΔACD; L బిందువు AC మీద, M బిందువు AB మీద, N బిందువు AD మీద)

4. In Fig. 6.19, DE || AC and DF || AE. Prove that BF/FE = BE/EC.
(బొమ్మలో: D బిందువు AB మీద; F, E బిందువులు BC మీద)

5. In Fig. 6.20, DE || OQ and DF || OR. Show that EF || QR.
(బొమ్మలో: O బిందువు ΔPQR లోపల; D బిందువు PO మీద, E బిందువు PQ మీద, F బిందువు PR మీద)

6. In Fig. 6.21, A, B and C are points on OP, OQ and OR respectively such that AB || PQ and AC || PR. Show that BC || QR.

7. Using Theorem 6.1, prove that a line drawn through the mid-point of one side of a triangle parallel to another side bisects the third side. (Recall that you have proved it in Class IX).

8. Using Theorem 6.2, prove that the line joining the mid-points of any two sides of a triangle is parallel to the third side. (Recall that you have done it in Class IX).

9. ABCD is a trapezium in which AB || DC and its diagonals intersect each other at the point O. Show that AO/BO = CO/DO.

10. The diagonals of a quadrilateral ABCD intersect each other at the point O such that AO/BO = CO/DO. Show that ABCD is a trapezium.

AP 10th Class Maths Triangles Exercise 6.3 Solutions (Similarity Criteria)

ప్రతి నిరూపణలో ముందు ఏ రెండు త్రిభుజాలు తీసుకుంటున్నామో రాసి, తర్వాత సమాన కోణాలు/అనుపాత భుజాలు కారణంతో రాయండి.

1. State which pairs of triangles in Fig. 6.34 are similar. Write the similarity criterion used by you for answering the question and also write the pairs of similar triangles in the symbolic form :
(బొమ్మలో: (i) A = 60°, B = 80°, C = 40°; P = 60°, Q = 80°, R = 40° (ii) AB = 2, BC = 2.5, CA = 3; PQ = 6, QR = 4, PR = 5 (iii) LM = 2.7, LP = 3, MP = 2; DE = 4, DF = 6, EF = 5 (iv) MN = 2.5, ML = 5, ∠M = 70°; PQ = 5, QR = 10, ∠Q = 70° (v) AB = 2.5, BC = 3, ∠A = 80°; DF = 5, EF = 6, ∠F = 80° (vi) D = 70°, E = 80°; Q = 80°, R = 30°)

2. In Fig. 6.35, Δ ODC ~ Δ OBA, ∠ BOC = 125° and ∠ CDO = 70°. Find ∠ DOC, ∠ DCO and ∠ OAB.
(బొమ్మలో: DC || AB; AC, BD లు O వద్ద ఖండించుకుంటాయి)

3. Diagonals AC and BD of a trapezium ABCD with AB || DC intersect each other at the point O. Using a similarity criterion for two triangles, show that OA/OC = OB/OD.

4. In Fig. 6.36, QR/QS = QT/PR and ∠ 1 = ∠ 2. Show that Δ PQS ~ Δ TQR.
(బొమ్మలో: ∠1 అనేది Q వద్ద, ∠2 అనేది R వద్ద (ΔPQR లో); S బిందువు QR మీద, T బిందువు QP పొడిగింపు మీద)

5. S and T are points on sides PR and QR of Δ PQR such that ∠ P = ∠ RTS. Show that Δ RPQ ~ Δ RTS.

6. In Fig. 6.37, if Δ ABE ≅ Δ ACD, show that Δ ADE ~ Δ ABC.
(బొమ్మలో: D బిందువు AB మీద, E బిందువు AC మీద)

7. In Fig. 6.38, altitudes AD and CE of Δ ABC intersect each other at the point P. Show that:
(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC

8. E is a point on the side AD produced of a parallelogram ABCD and BE intersects CD at F. Show that Δ ABE ~ Δ CFB.

9. In Fig. 6.39, ABC and AMP are two right triangles, right angled at B and M respectively. Prove that:
(i) Δ ABC ~ Δ AMP
(ii) CA/PA = BC/MP

10. CD and GH are respectively the bisectors of ∠ ACB and ∠ EGF such that D and H lie on sides AB and FE of Δ ABC and Δ EFG respectively. If Δ ABC ~ Δ FEG, show that:
(i) CD/GH = AC/FG
(ii) Δ DCB ~ Δ HGE
(iii) Δ DCA ~ Δ HGF

11. In Fig. 6.40, E is a point on side CB produced of an isosceles triangle ABC with AB = AC. If AD ⊥ BC and EF ⊥ AC, prove that Δ ABD ~ Δ ECF.

12. Sides AB and BC and median AD of a triangle ABC are respectively proportional to sides PQ and QR and median PM of Δ PQR (see Fig. 6.41). Show that Δ ABC ~ Δ PQR.

13. D is a point on the side BC of a triangle ABC such that ∠ ADC = ∠ BAC. Show that CA² = CB.CD.

14. Sides AB and AC and median AD of a triangle ABC are respectively proportional to sides PQ and PR and median PM of another triangle PQR. Show that Δ ABC ~ Δ PQR.

15. A vertical pole of length 6 m casts a shadow 4 m long on the ground and at the same time a tower casts a shadow 28 m long. Find the height of the tower.

16. If AD and PM are medians of triangles ABC and PQR, respectively where Δ ABC ~ Δ PQR, prove that AB/PQ = AD/PM.

Triangles నిరూపణల్లో మార్కులు ఎక్కడ పోతాయి

1. కారణం రాయకపోవడం: ప్రతి సమాన కోణం పక్కన (ఉమ్మడి కోణం / ఏకాంతర కోణాలు / శీర్షాభిముఖ కోణాలు / 90°) అని రాయండి.
2. అక్షరాల వరుస తప్పు: ΔABC ~ ΔQRP అంటే A-Q, B-R, C-P. వరుస మారితే అనురూప భుజాలు తప్పుగా వస్తాయి (6.3 ప్రశ్న 1 (ii)).
3. SAS లో కోణం స్థానం: సమాన కోణం అనుపాత భుజాల మధ్యదే కావాలి. లేకపోతే సరూపం అని చెప్పలేం (6.3 ప్రశ్న 1 (v)).
4. BPT, విపర్యయం కలపడం: సమాంతరం ఇస్తే BPT; నిష్పత్తి ఇచ్చి సమాంతరం అడిగితే విపర్యయం.
5. బొమ్మ వేయకపోవడం: 6.2 ప్రశ్న 9, 10, 6.3 ప్రశ్న 14 లాంటి వాటిలో అదనంగా గీసిన రేఖను బొమ్మలో చూపించండి.

మిగతా అధ్యాయాల జవాబులు AP 10th Class Maths Solutions హబ్‌లో, అధ్యాయాల వారీ నోట్స్ AP 10th Class Maths Study Material PDF లో, సిద్ధాంతాల తెలుగు PDF 10th Class Maths Theorems in Telugu PDF లో ఉన్నాయి. Triangles తర్వాతి అధ్యాయం AP 10th Class Maths Coordinate Geometry Solutions కూడా SA1 సిలబస్‌లో ఉంది.

FAQs

Triangles అధ్యాయంలో ఎన్ని ఎక్సర్‌సైజ్‌లు, ఎన్ని ప్రశ్నలు?

AP SCERT Semester 1 పుస్తకంలో మూడు: Exercise 6.1 (3), 6.2 (10), 6.3 (16). మొత్తం 29 ప్రశ్నలు, అన్నింటి జవాబులు ఈ పేజీలో ఉన్నాయి.

Triangles SA1 లో వస్తుందా?

అవును. 10వ తరగతి SA1 గణితం సిలబస్‌లో Triangles ఉంది.

ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం (BPT) అంటే ఏమిటి?

త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగతా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. దీన్నే Thales సిద్ధాంతం అని కూడా అంటారు.

BPT విపర్యయం ఎప్పుడు వాడాలి?

రెండు భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించబడ్డాయని తెలిసి, ఒక రేఖ సమాంతరం అని నిరూపించమన్నప్పుడు (6.2 ప్రశ్నలు 2, 5, 6, 8, 10).

అన్ని సమద్విబాహు త్రిభుజాలు సరూపాలా?

కాదు. శీర్ష కోణం మారితే ఆకారం మారుతుంది. అన్ని సమబాహు త్రిభుజాలు మాత్రమే సరూపాలు (ప్రతి కోణం 60°).

6.1 ప్రశ్న 3 లో చతుర్భుజాలు ఎందుకు సరూపాలు కావు?

భుజాలు 1 : 2 అనుపాతంలో ఉన్నా, ABCD కోణాలు 90°, PQRS కోణాలు 90° కావు. కోణాలు సమానం కాకపోతే సరూపం కాదు.

6.2 ప్రశ్న 1 జవాబులు ఏమిటి?

(i) EC = 2 cm (ii) AD = 2.4 cm. రెండూ BPT తో.

6.3 ప్రశ్న 2 లో కోణాలు ఎంత?

∠DOC = 55°, ∠DCO = 55°, ∠OAB = 55°. మూడూ 55°; పుస్తకం జవాబు కూడా ఇదే.

AA, AAA నియమాల తేడా ఏమిటి?

రెండు కోణాలు సమానమైతే మూడో కోణం కూడా తప్పక సమానం (కోణాల మొత్తం 180°). అందుకే AA చాలు; AAA అదే నియమం.

6.3 ప్రశ్న 15 లో టవర్ ఎత్తు ఎంత?

42 m. ఒకే సమయంలో నీడలు కాబట్టి త్రిభుజాలు సరూపం: 6/4 = h/28.

CA² = CB.CD (6.3 ప్రశ్న 13) ఎలా వస్తుంది?

ΔADC ~ ΔBAC (AA) నుంచి CA/CB = CD/CA; అడ్డగుణకారం చేస్తే CA² = CB.CD.

మూలం: AP SCERT 10వ తరగతి గణితం పాఠ్యపుస్తకం (Semester 1, అధ్యాయం 6, ANSWERS/HINTS). అధికారిక పాఠ్యపుస్తకాలు, పాఠశాల విద్యాశాఖ సమాచారం కోసం Commissionerate of School Education, Andhra Pradesh సైట్ చూడండి.