FA2 గణితం పరీక్ష కోసం వచ్చారా? ఈ పేజీ నవంబర్ SA1 కోసం. 05 అక్టోబర్ FA2 గణితం పేపర్, జవాబులు AP 10th Class FA2 Maths Question Paper 2026-27 పేజీలో ఉన్నాయి.
నవంబర్‌లో జరిగే AP 10th Class SA1 Maths Question Paper కోసం సిద్ధమవుతున్నారా? ముందు ఒక శుభవార్త: పదో తరగతి గణితంలో 14 అధ్యాయాలు ఉంటే SA1 కి వచ్చేవి 11 మాత్రమే. మిగిలిన మూడు నవంబర్‌లో బోధించేవి. ఏవి ఉన్నాయో, ఏవి లేవో అధికారిక పత్రాల నుంచి సరిచూసి కింద పట్టికలో ఇచ్చాం.
ఆ 11 అధ్యాయాల మీద 33 ప్రశ్నల పూర్తి సాధన పత్రం ఈ పేజీలో ఉంది. ప్రతి లెక్కకూ దశలవారీ సాధన, ఏ దశకు ఎన్ని మార్కులో కూడా. ఆకారం BSE ఆంధ్రప్రదేశ్ విడుదల చేసిన SSC 2026-27 గణితం మోడల్ పేపర్‌ది: నాలుగు విభాగాలు, చివరి విభాగంలో అంతర్గత ఎంపిక.
AP 10th Class SA1 Maths Question Paper 2026-27 — ముఖ్య వివరాలు
| పరీక్ష | Summative Assessment 1 (SA1) |
| తరగతి, సబ్జెక్ట్ | 10వ తరగతి (AP SSC) — గణితం |
| SA1 తేదీలు | 9 – 20 నవంబర్ 2026 (6 నుంచి 10 తరగతులు) |
| సిలబస్ పరిధి | జూన్ నుంచి అక్టోబర్ వరకు బోధించిన పాఠాలు |
| SA1 లో అధ్యాయాలు | 11 (1 – 9, 13, 14) |
| దసరా సెలవులు | 12 – 21 అక్టోబర్ 2026 |
| ఈ సాధన పత్రం | 33 ప్రశ్నలు, 100 మార్కులు, 3 గం. 15 ని. — SSC 2026-27 మోడల్ పేపర్ ఆకారంలో |
తేదీలు, సిలబస్ పరిధి AP SCERT హైస్కూల్ అకడమిక్ క్యాలెండర్ 2026-27 నుంచి. అన్ని తరగతుల SA1 సమాచారం AP SA1 2026-27 – సిలబస్, టైమ్ టేబుల్, ప్రశ్నపత్రాలు పేజీలో ఉంది.
ఇంకా రావాల్సింది: గణితం పేపర్ ఏ రోజు, ఎన్ని మార్కులు అనేది SCERT విడుదల చేసే SA1 ఉత్తర్వులో ఉంటుంది. FA2 విషయంలో ఆ ఉత్తర్వు పరీక్షకు 12 రోజుల ముందు (23.09.2026) వచ్చింది. అప్పటివరకు సాధనకు బోర్డ్ పరీక్ష నమూనానే సురక్షితం — మార్చిలో రాయాల్సింది అదే.
SA1 గణితం సిలబస్ 2026-27 — 14 లో ఏ 11
రెండు అధికారిక పత్రాలను పక్కపక్కన పెట్టి చూశాం: SCERT నెలవారీ సిలబస్ పట్టిక, BSE Mission March Phase-I తేదీల వారీ షెడ్యూల్. రెండింటిలోనూ ఒకే చిత్రం కనిపించింది.
| సంఖ్య | అధ్యాయం | బోధించే నెల | SA1 లో |
|---|---|---|---|
| 1 | వాస్తవ సంఖ్యలు (Real Numbers) | జూలై | ఉంది |
| 2 | బహుపదులు (Polynomials) | జూలై | ఉంది |
| 3 | రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత (Pair of Linear Equations in Two Variables) | జూలై | ఉంది |
| 4 | వర్గ సమీకరణాలు (Quadratic Equations) | జూలై, ఆగస్టు | ఉంది |
| 5 | అంకశ్రేఢులు (Arithmetic Progressions) | జూలై, ఆగస్టు | ఉంది |
| 6 | త్రిభుజాలు (Triangles) | ఆగస్టు | ఉంది |
| 7 | నిరూపక రేఖాగణితం (Coordinate Geometry) | ఆగస్టు, సెప్టెంబర్ | ఉంది |
| 8 | త్రికోణమితి పరిచయం (Introduction to Trigonometry) | అక్టోబర్ | ఉంది |
| 9 | త్రికోణమితి అనువర్తనాలు (Some Applications of Trigonometry) | అక్టోబర్ | ఉంది |
| 10 | వృత్తాలు (Circles) | నవంబర్ | లేదు |
| 11 | వృత్తాలకు సంబంధించిన వైశాల్యాలు (Areas Related to Circles) | నవంబర్ | లేదు |
| 12 | ఉపరితల వైశాల్యాలు, ఘనపరిమాణాలు (Surface Areas and Volumes) | నవంబర్ | లేదు |
| 13 | సాంఖ్యక శాస్త్రం (Statistics) | సెప్టెంబర్ | ఉంది |
| 14 | సంభావ్యత (Probability) | అక్టోబర్ | ఉంది |
ఈ చిత్రం ఫోన్‌లో సేవ్ చేసుకోండి: ఆకుపచ్చ అధ్యాయాలు SA1 లో ఉన్నాయి, బూడిద రంగువి నవంబర్ తర్వాత.
నెల కాలమ్ గురించి: ఇది SCERT క్యాలెండర్, Mission March స్లిప్ టెస్ట్ తేదీల ఆధారంగా. మీ పాఠశాలలో ఒకటి రెండు వారాలు ముందు వెనక కావచ్చు, కానీ SA1 పరిధి మారదు.
ఈ 11 లో 8 అధ్యాయాలు (1 – 7, 13) సెప్టెంబర్ లోపే పూర్తయ్యాయి. వాటిలో అంకశ్రేఢులు, త్రిభుజాలు, నిరూపక రేఖాగణితం, సాంఖ్యక శాస్త్రం FA2 సిలబస్‌లో ఉన్నాయి; ఆ ప్రశ్నలు మళ్లీ చూడాలంటే AP 10th Class FA2 Maths Question Paper 2026-27 పేజీ ఉంది. కొత్తవి మూడే: త్రికోణమితి పరిచయం, త్రికోణమితి అనువర్తనాలు, సంభావ్యత. SA1 లో ఎక్కువ మంది తడబడేది ఇక్కడే, ఎందుకంటే వీటికి FA సాధన లేదు.
AP 10th Class SA1 Maths Question Paper — 33 ప్రశ్నలు, జవాబులతో
సూచనలు: మొత్తం 33 ప్రశ్నలు, నాలుగు విభాగాలు. 3 గంటల 15 నిమిషాల్లో మొదటి 15 నిమిషాలు ప్రశ్నపత్రం చదవడానికి. విభాగం IV లో మాత్రమే ఎంపిక ఉంది. కాలిక్యులేటర్ వాడకూడదు.
ప్రతి ప్రశ్నకూ ముందు మీరు కాగితంపై రాసి, ఆ తర్వాతే జవాబు తెరవండి. చదివి అర్థం చేసుకోవడం వేరు, పరీక్ష హాల్‌లో రాయడం వేరు.
విభాగం I — 12 × 1 = 12 మార్కులు
ప్రతి ప్రశ్నకూ ఒక పదంలో లేదా ఒక వాక్యంలో జవాబు రాయండి. బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నల్లో సరైన అక్షరం రాయండి.
1. 96, 404 ల గ.సా.భా. (HCF) 4. అయితే వాటి క.సా.గు. (LCM) ఎంత? [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
గ.సా.భా. × క.సా.గు. = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం. కాబట్టి క.సా.గు. = (96 × 404) ÷ 4 = 38784 ÷ 4 = 9696.
2. x² − 5x + 6 బహుపది శూన్యాలు ఏవి?
(A) 1, 6 (B) 2, 3 (C) −2, −3 (D) −1, 6 [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). x = 2, x = 3 ప్రతిక్షేపిస్తే బహుపది విలువ సున్నా.
3. 2x + 3y = 7, 4x + 6y = 14 సమీకరణాల జతకు ఎన్ని సాధనలు ఉంటాయి? [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
a₁/a₂ = 2/4, b₁/b₂ = 3/6, c₁/c₂ = 7/14 — మూడూ 1/2 కు సమానం. కాబట్టి రెండు రేఖలూ ఏకీభవిస్తాయి (coincident lines).
4. 2x² − 4x + 3 = 0 వర్గ సమీకరణ విచక్షణి (discriminant) విలువ ఎంత? మూలాల స్వభావం ఏమిటి? [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(3) = 16 − 24 = −8. విచక్షణి సున్నా కంటే తక్కువ కాబట్టి వాస్తవ మూలాలు ఉండవు.
5. కింది వాటిలో అంకశ్రేఢి ఏది?
(A) 1, 2, 4, 8 (B) −2, 1, 4, 7 (C) 1, 4, 9, 16 (D) 1, 1, 2, 3 [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
వరుస పదాల భేదం ప్రతిచోటా 3. మిగిలిన మూడింటిలో భేదం స్థిరంగా లేదు.
6. ΔABC ~ ΔPQR, AB/PQ = 2/3. అయితే వాటి చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి ఎంత? [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి అనురూప భుజాల నిష్పత్తికి సమానం. (వైశాల్యాలకైతే వర్గం — 4 : 9.)
7. (−2, 4), (6, 8) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం మధ్య బిందువు ఏది? [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
((−2 + 6)/2, (4 + 8)/2) = (4/2, 12/2) = (2, 6).
8. sin 30° + cos 60° విలువ ఎంత? [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2. మొత్తం = 1/2 + 1/2 = 1.
9. A అల్పకోణం, tan A = 3/4 అయితే sin A విలువ ఎంత? [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
ఎదుటి భుజం 3, ఆసన్న భుజం 4 అనుకుంటే కర్ణం = √(9 + 16) = 5. sin A = ఎదుటి భుజం / కర్ణం = 3/5.
10. 20 మీ. ఎత్తున్న స్తంభం పాదం నుంచి 20 మీ. దూరంలో నిలబడిన వ్యక్తికి స్తంభం శిఖరం ఏ ఊర్ధ్వ కోణం (angle of elevation) తో కనిపిస్తుంది? [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
tan θ = ఎత్తు / దూరం = 20/20 = 1. tan 45° = 1, కాబట్టి θ = 45°.
11. ఒక దత్తాంశానికి అంకమధ్యమం 20, మధ్యగతం 22. అనుభావిక సంబంధం ఉపయోగించి బాహుళకం కనుక్కోండి. [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
3 × మధ్యగతం = బాహుళకం + 2 × అంకమధ్యమం. కాబట్టి బాహుళకం = 3(22) − 2(20) = 66 − 40 = 26.
12. ఒక ఘటన E సంభావ్యత P(E) = 0.35 అయితే, E జరగకపోవడం సంభావ్యత ఎంత? [1 మార్కు]
జవాబు చూడండి
P(E) + P(E జరగకపోవడం) = 1. కాబట్టి 1 − 0.35 = 0.65.
విభాగం II — 8 × 2 = 16 మార్కులు
ప్రతి ప్రశ్నకూ సాధన దశలు చూపిస్తూ క్లుప్తంగా జవాబు రాయండి.
13. 140 ని ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయండి. [2 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
కాబట్టి 140 = 2² × 5 × 7.
మార్కులు: భాగహార దశలు — 1; ఘాతాంక రూపంలో జవాబు — 1.
14. శూన్యాల మొత్తం −3, శూన్యాల లబ్ధం 2 గా ఉండే వర్గ బహుపదిని కనుక్కోండి. [2 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
సరిచూడటం: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), శూన్యాలు −1, −2. మొత్తం −3, లబ్ధం 2.
15. x + y = 14, x − y = 4 సమీకరణాలను సాధించండి. [2 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
x = 9 ను మొదటి సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే: 9 + y = 14, కాబట్టి y = 5.
సాధన: x = 9, y = 5.
సరిచూడటం: 9 − 5 = 4. సరిపోయింది.
16. కారణాంక విభజన పద్ధతిలో x² − 7x + 12 = 0 మూలాలు కనుక్కోండి. [2 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
x² − 3x − 4x + 12 = 0
x(x − 3) − 4(x − 3) = 0
(x − 3)(x − 4) = 0
మూలాలు: x = 3, x = 4.
17. 3 చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని? [2 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
an = a + (n − 1)d, అంటే 99 = 12 + (n − 1) × 3
87 = (n − 1) × 3, n − 1 = 29, n = 30
30 సంఖ్యలు.
18. (−5, 7), (−1, 3) బిందువుల మధ్య దూరం కనుక్కోండి. [2 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
= 4√2 యూనిట్లు.
19. sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° విలువ కనుక్కోండి. [2 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
= 3/4 + 1/4 = 1.
20. ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించారు. (i) ప్రధాన సంఖ్య (ii) 4 కంటే పెద్ద సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యతలు కనుక్కోండి. [2 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
(i) ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5 — మూడు. P = 3/6 = 1/2.
(ii) 4 కంటే పెద్దవి 5, 6 — రెండు. P = 2/6 = 1/3.
విభాగం III — 8 × 4 = 32 మార్కులు
ప్రతి దశనూ రాస్తూ, అవసరమైన చోట పటం గీసి జవాబు రాయండి.
21. √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య (irrational number) అని నిరూపించండి. [4 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
వర్గం చేస్తే: 3 = a²/b², అంటే a² = 3b². కాబట్టి 3, a² ను భాగిస్తుంది. 3 ప్రధాన సంఖ్య కాబట్టి 3, a ను కూడా భాగిస్తుంది.
a = 3c అనుకుంటే: 9c² = 3b², అంటే b² = 3c². కాబట్టి 3, b² ను భాగిస్తుంది; అందుకే 3, b ను కూడా భాగిస్తుంది.
వైరుధ్యం: ఇప్పుడు a, b రెండింటికీ 3 ఉమ్మడి కారణాంకం. ఇది మనం మొదట అనుకున్నదానికి విరుద్ధం.
కాబట్టి మన ఊహ తప్పు. √3 కరణీయ సంఖ్య.
మార్కులు: ఊహ — 1; a కి 3 కారణాంకం — 1; b కి 3 కారణాంకం — 1; వైరుధ్యం, ముగింపు — 1.
22. 6x² − 7x − 3 బహుపది శూన్యాలు కనుక్కొని, శూన్యాలకూ గుణకాలకూ మధ్య సంబంధాన్ని సరిచూడండి. [4 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
శూన్యాలు: x = −1/3, x = 3/2.ఇక్కడ a = 6, b = −7, c = −3.
శూన్యాల మొత్తం = −1/3 + 3/2 = (−2 + 9)/6 = 7/6. −b/a = 7/6. సరిపోయింది.
శూన్యాల లబ్ధం = (−1/3)(3/2) = −1/2. c/a = −3/6 = −1/2. సరిపోయింది.
మార్కులు: కారణాంకాలుగా విభజన — 1; శూన్యాలు — 1; మొత్తం సరిచూడటం — 1; లబ్ధం సరిచూడటం — 1.
23. 5 పెన్సిళ్లు, 7 పెన్నుల ధర ₹50. 7 పెన్సిళ్లు, 5 పెన్నుల ధర ₹46. ఒక పెన్సిల్, ఒక పెన్ను ధర కనుక్కోండి. [4 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
5x + 7y = 50 …(1) 7x + 5y = 46 …(2)
(1) + (2): 12x + 12y = 96, అంటే x + y = 8 …(3)
(2) − (1): 2x − 2y = −4, అంటే x − y = −2 …(4)
(3) + (4): 2x = 6, x = 3. అప్పుడు y = 8 − 3 = 5.
పెన్సిల్ ధర ₹3, పెన్ను ధర ₹5.
సరిచూడటం: 5(3) + 7(5) = 15 + 35 = 50; 7(3) + 5(5) = 21 + 25 = 46.
24. రెండు వరుస ధన పూర్ణాంకాల లబ్ధం 306. ఆ సంఖ్యలు కనుక్కోండి. [4 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
n(n + 1) = 306, అంటే n² + n − 306 = 0
306 = 18 × 17, 18 − 17 = 1 కాబట్టి: n² + 18n − 17n − 306 = 0
n(n + 18) − 17(n + 18) = 0, అంటే (n + 18)(n − 17) = 0
n = 17 లేదా n = −18. ధన పూర్ణాంకం కావాలి కాబట్టి n = 17.
సంఖ్యలు 17, 18. (17 × 18 = 306.)
25. ΔABC లో DE ∥ BC. AD = x, DB = x − 2, AE = x + 2, EC = x − 1 అయితే x విలువ కనుక్కోండి. [4 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
x/(x − 2) = (x + 2)/(x − 1)
అడ్డ గుణకారం: x(x − 1) = (x + 2)(x − 2)
x² − x = x² − 4, అంటే −x = −4, అంటే x = 4.
సరిచూడటం: AD = 4, DB = 2, AE = 6, EC = 3. 4/2 = 6/3 = 2. సరిపోయింది.
26. (−3, 10), (6, −8) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని (−1, 6) బిందువు ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది? [4 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
(6k − 3)/(k + 1) = −1, అంటే 6k − 3 = −k − 1, అంటే 7k = 2, అంటే k = 2/7
కాబట్టి నిష్పత్తి 2 : 7.
y నిరూపకంతో సరిచూడటం: (−8k + 10)/(k + 1) = (−16/7 + 10)/(9/7) = (54/7)/(9/7) = 6. సరిపోయింది.
27. (1 + tan²A)/(1 + cot²A) = tan²A అని నిరూపించండి. [4 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
1 + tan²A = sec²A, 1 + cot²A = cosec²A (సర్వసమీకరణాలు)
= sec²A / cosec²A = (1/cos²A) / (1/sin²A) = sin²A / cos²A = tan²A = కుడి వైపు.
మార్కులు: సర్వసమీకరణాల ప్రతిక్షేపణ — 2; sin, cos రూపంలోకి మార్చి ముగింపు — 2.
28. కింది వర్గీకృత దత్తాంశానికి బాహుళకం (mode) కనుక్కోండి.
| తరగతి | 0−10 | 10−20 | 20−30 | 30−40 | 40−50 |
| పౌనఃపున్యం | 5 | 8 | 12 | 7 | 3 |
[4 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
l = 20, f₁ = 12, f₀ = 8, f₂ = 7, h = 10
బాహుళకం = l + [(f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂)] × h
= 20 + [(12 − 8) / (24 − 8 − 7)] × 10 = 20 + (4/9) × 10 = 20 + 4.44 = 24.44 (సుమారు)
మార్కులు: బాహుళక తరగతి — 1; విలువలు గుర్తించడం — 1; సూత్రం — 1; జవాబు — 1.
విభాగం IV — 5 × 8 = 40 మార్కులు
ప్రతి ప్రశ్నలో (a) లేదా (b) లో ఒకదానికి మాత్రమే జవాబు రాయండి. ఈ విభాగంలో మాత్రమే అంతర్గత ఎంపిక ఉంది.
29. (a) ఒక అంకశ్రేఢిలో 3వ పదం 12, 7వ పదం 24. మొదటి 20 పదాల మొత్తం కనుక్కొని, 20వ పదంతో జవాబు సరిచూడండి.
లేదా
(b) ప్రధాన కారణాంక పద్ధతిలో 306, 657 ల గ.సా.భా., క.సా.గు. కనుక్కొని, గ.సా.భా. × క.సా.గు. = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం అని సరిచూడండి. [8 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
(2) − (1): 4d = 12, d = 3. అప్పుడు a = 12 − 6 = 6.
S20 = 20/2 [2(6) + 19(3)] = 10 [12 + 57] = 10 × 69 = 690
సరిచూడటం: a20 = 6 + 19 × 3 = 63. S20 = 20/2 (6 + 63) = 10 × 69 = 690. రెండూ ఒకటే.
మార్కులు: రెండు సమీకరణాలు — 2; a, d — 2; S20 — 2; సరిచూడటం — 2.(b) 306 = 2 × 3 × 3 × 17 = 2 × 3² × 17
657 = 3 × 3 × 73 = 3² × 73
గ.సా.భా. = ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతం = 3² = 9
క.సా.గు. = అన్ని ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ఠ ఘాతం = 2 × 3² × 17 × 73 = 22338
సరిచూడటం: 9 × 22338 = 201042; 306 × 657 = 201042. రెండూ సమానం.
మార్కులు: రెండు కారణాంక విభజనలు — 2; గ.సా.భా. — 2; క.సా.గు. — 2; సరిచూడటం — 2.
30. (a) 40 మంది విద్యార్థుల మార్కులు కింది పట్టికలో ఉన్నాయి.
| మార్కులు | 0−10 | 10−20 | 20−30 | 30−40 | 40−50 |
| విద్యార్థులు | 4 | 6 | 10 | 12 | 8 |
(i) ప్రతి తరగతికీ తరగతి మధ్య విలువ (xi) రాయండి. (ii) fixi విలువలు కనుక్కోండి. (iii) ప్రత్యక్ష పద్ధతిలో అంకమధ్యమం కనుక్కోండి.
లేదా
(b) పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ప్రవచించి, సరూప త్రిభుజాల సహాయంతో నిరూపించండి. [8 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
(a)
| తరగతి | fi | xi | fixi |
| 0−10 | 4 | 5 | 20 |
| 10−20 | 6 | 15 | 90 |
| 20−30 | 10 | 25 | 250 |
| 30−40 | 12 | 35 | 420 |
| 40−50 | 8 | 45 | 360 |
| మొత్తం | 40 | 1140 |
అంకమధ్యమం = Σfixi / Σfi = 1140 ÷ 40 = 28.5
మార్కులు: xi — 2; fixi, మొత్తాలు — 3; అంకమధ్యమం — 3.
(b) ప్రవచనం: లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం మీది చతురస్రం మిగిలిన రెండు భుజాల మీది చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం.
దత్తాంశం: ΔABC లో ∠B = 90°.
సాధించవలసినది: AC² = AB² + BC²
నిర్మాణం: B నుంచి AC పైకి BD లంబం గీయాలి.
నిరూపణ: ΔADB, ΔABC లలో ∠A ఉమ్మడి, ∠ADB = ∠ABC = 90°. కాబట్టి AA నియమం ప్రకారం ΔADB ~ ΔABC.
అందువల్ల AD/AB = AB/AC, అంటే AB² = AD × AC …(1)
అదే విధంగా ΔBDC ~ ΔABC (∠C ఉమ్మడి, ∠BDC = ∠ABC = 90°).
అందువల్ల CD/BC = BC/AC, అంటే BC² = CD × AC …(2)
(1) + (2): AB² + BC² = AC(AD + CD) = AC × AC = AC². నిరూపించబడింది.
మార్కులు: ప్రవచనం — 1; పటం, దత్తాంశం, సాధించవలసినది — 2; నిర్మాణం — 1; రెండు సరూపతలు — 2; ముగింపు — 2.
31. (a) (i) (1, −1), (−4, 6), (−3, −5) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం కనుక్కోండి. (ii) (2, −5), (−2, 9) బిందువులకు సమాన దూరంలో ఉండే x అక్షంపై బిందువును కనుక్కోండి.
లేదా
(b) x + y = 5, 2x − y = 4 సమీకరణాల జతను గ్రాఫ్ పద్ధతిలో సాధించండి. [8 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
(a) (i) వైశాల్యం = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
= ½ |1(6 + 5) + (−4)(−5 + 1) + (−3)(−1 − 6)|
= ½ |11 + 16 + 21| = ½ × 48 = 24 చదరపు యూనిట్లు. (4 మార్కులు)
(ii) x అక్షంపై బిందువు P(x, 0) అనుకుందాం. PA = PB కాబట్టి PA² = PB².
(x − 2)² + (0 + 5)² = (x + 2)² + (0 − 9)²
x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81
−8x = 56, x = −7. కావాల్సిన బిందువు (−7, 0). (4 మార్కులు)
(b) ప్రతి సమీకరణానికి మూడు బిందువుల పట్టిక:
| x + y = 5, అంటే y = 5 − x | |||
| x | 0 | 2 | 5 |
| y | 5 | 3 | 0 |
| 2x − y = 4, అంటే y = 2x − 4 | |||
| x | 0 | 2 | 3 |
| y | −4 | 0 | 2 |
రెండు రేఖలనూ ఒకే గ్రాఫ్ కాగితంపై గీస్తే అవి (3, 2) వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
సాధన: x = 3, y = 2.
సరిచూడటం: 3 + 2 = 5; 2(3) − 2 = 4.
మార్కులు: రెండు పట్టికలు — 2; అక్షాలు, స్కేలు — 1; రెండు రేఖలు — 3; ఖండన బిందువు, సాధన — 2.
32. (a) బాగా కలిపిన 52 కార్డుల కట్ట నుంచి ఒక కార్డు తీశారు. అది (i) ఎరుపు రంగు రాజు (ii) ముఖచిత్ర కార్డు (face card) (iii) ఇస్పేటు (spade) (iv) ఆఠీను జాకీ (jack of hearts) అయ్యే సంభావ్యతలు కనుక్కోండి.
లేదా
(b) రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించారు. (i) మొత్తం 8 (ii) రెండింటిపైనా ఒకే సంఖ్య (iii) మొత్తం 3 లేదా అంతకంటే తక్కువ (iv) మొత్తం 13 వచ్చే సంభావ్యతలు కనుక్కోండి. [8 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
(i) ఎరుపు రాజులు 2 (ఆఠీను, డైమండ్). P = 2/52 = 1/26
(ii) ముఖచిత్ర కార్డులు ఒక్కో గుర్తుకు 3 (రాజు, రాణి, జాకీ), మొత్తం 12. P = 12/52 = 3/13
(iii) ఇస్పేటు కార్డులు 13. P = 13/52 = 1/4
(iv) ఆఠీను జాకీ ఒక్కటే. P = 1/52
మార్కులు: ప్రతి భాగానికి 2.(b) మొత్తం ఫలితాలు = 6 × 6 = 36.
(i) మొత్తం 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — 5. P = 5/36
(ii) ఒకే సంఖ్య: (1,1), (2,2), …, (6,6) — 6. P = 6/36 = 1/6
(iii) మొత్తం 3 లేదా తక్కువ: (1,1), (1,2), (2,1) — 3. P = 3/36 = 1/12
(iv) మొత్తం 13 రావడం అసాధ్యం (గరిష్ఠ మొత్తం 12). P = 0
మార్కులు: ప్రతి భాగానికి 2.
33. (a) 7 మీ. ఎత్తున్న భవనం పైనుంచి చూస్తే ఒక కేబుల్ టవర్ శిఖరం 60° ఊర్ధ్వ కోణంతో, టవర్ పాదం 45° నిమ్న కోణం (angle of depression) తో కనిపిస్తున్నాయి. టవర్ ఎత్తు కనుక్కోండి. (√3 = 1.732)
లేదా
(b) ఒక రైలు 360 కి.మీ. దూరాన్ని ఏకరీతి వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. వేగం గంటకు 5 కి.మీ. ఎక్కువైతే అదే దూరానికి 1 గంట తక్కువ పడుతుంది. రైలు వేగం కనుక్కోండి. [8 మార్కులు]
జవాబు చూడండి
ΔABD లో (నిమ్న కోణం 45°): tan 45° = AB/BD, 1 = 7/BD, కాబట్టి BD = 7 మీ. = AE.
ΔAEC లో (ఊర్ధ్వ కోణం 60°): tan 60° = CE/AE, √3 = CE/7, కాబట్టి CE = 7√3 మీ.
టవర్ ఎత్తు CD = CE + ED = 7√3 + 7 = 7(√3 + 1) = 7 × 2.732 = 19.12 మీ. (సుమారు)
మార్కులు: పటం — 2; BD — 2; CE — 2; టవర్ ఎత్తు — 2.(b) రైలు వేగం x కి.మీ./గం. అనుకుందాం.
సమయాల భేదం: 360/x − 360/(x + 5) = 1
360(x + 5) − 360x = x(x + 5), అంటే 1800 = x² + 5x
x² + 5x − 1800 = 0, అంటే (x + 45)(x − 40) = 0
x = 40 లేదా x = −45. వేగం రుణాత్మకం కాదు కాబట్టి రైలు వేగం గంటకు 40 కి.మీ.
సరిచూడటం: 360 ÷ 40 = 9 గం.; 360 ÷ 45 = 8 గం.; భేదం 1 గం.
మార్కులు: సమీకరణం ఏర్పరచడం — 3; వర్గ సమీకరణ రూపం — 2; సాధన — 2; సరైన మూలం ఎంపిక — 1.
ఏ అధ్యాయానికి ఏ ప్రశ్నలు
ఈ సాధన పత్రంలో SA1 లోని 11 అధ్యాయాలకూ ప్రశ్నలు ఉన్నాయి. మీ బలహీన అధ్యాయం ప్రశ్నలు మళ్లీ రాయడానికి ఈ పట్టిక వాడండి:
| అధ్యాయం | ప్రశ్న సంఖ్యలు |
|---|---|
| 1. వాస్తవ సంఖ్యలు | 1, 13, 21, 29(b) |
| 2. బహుపదులు | 2, 14, 22 |
| 3. రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత | 3, 15, 23, 31(b) |
| 4. వర్గ సమీకరణాలు | 4, 16, 24, 33(b) |
| 5. అంకశ్రేఢులు | 5, 17, 29(a) |
| 6. త్రిభుజాలు | 6, 25, 30(b) |
| 7. నిరూపక రేఖాగణితం | 7, 18, 26, 31(a) |
| 8. త్రికోణమితి పరిచయం | 8, 9, 19, 27 |
| 9. త్రికోణమితి అనువర్తనాలు | 10, 33(a) |
| 13. సాంఖ్యక శాస్త్రం | 11, 28, 30(a) |
| 14. సంభావ్యత | 12, 20, 32(a), 32(b) |
బోర్డ్ పరీక్షకు అధ్యాయాల వారీ వెయిటేజీ, అధికారిక మోడల్ పేపర్ల కోసం AP SSC 10th Class Maths Blueprint 2027 – Exam Pattern & Model Papers పేజీ చూడండి.
PDF — ప్రింట్ తీసుకుని రాయండి
తెలుగు మాధ్యమం ప్రశ్నపత్రం, దాని వెనుకే జవాబుల పత్రం ఒకే ఫైల్‌లో: Download PDF. ప్రశ్నల పేజీలు మాత్రం ప్రింట్ తీసుకుని, 3 గం. 15 ని. గడియారం పెట్టి ఒకే సిట్టింగ్‌లో రాయండి. SA1 పొడవైన పేపర్ — సమయం సరిపోతుందో లేదో ఇప్పుడే తెలియాలి.
SA1 గణితంలో మార్కులు పోయే 7 చోట్లు
- ప్రశ్న 6 లో చుట్టుకొలతకు వర్గం చేయడం. సరూప త్రిభుజాల్లో చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి భుజాల నిష్పత్తే; వర్గం వైశాల్యాలకు మాత్రమే.
- ప్రశ్న 24, 33(b) లో రుణ మూలాన్ని వదలకపోవడం. సంఖ్యలు ధనాత్మకం, వేగం ధనాత్మకం — −18, −45 ఎందుకు తీసేశారో ఒక వాక్యం రాయండి.
- ప్రశ్న 21 లో “3 ప్రధాన సంఖ్య కాబట్టి” అనే కారణం రాయకపోవడం. a² ను భాగిస్తే a ను భాగిస్తుంది అనేది ప్రధాన సంఖ్యలకే నిజం. ఆ వాక్యానికే ఒక మార్కు.
- ప్రశ్న 26 లో k : 1 ని తుది జవాబుగా వదిలేయడం. k = 2/7 వచ్చాక నిష్పత్తిని 2 : 7 గా రాయాలి.
- ప్రశ్న 28 లో f₀, f₂ తారుమారు. f₀ బాహుళక తరగతికి ముందుది, f₂ తర్వాతిది. తారుమారైతే జవాబు మారిపోతుంది.
- ప్రశ్న 33(a) లో కోణాన్ని నిలువు రేఖ నుంచి కొలవడం. ఊర్ధ్వ, నిమ్న కోణాలు రెండూ క్షితిజ సమాంతర రేఖ నుంచే.
- విభాగం IV లో (a), (b) రెండూ రాయడం. ఒకదానికే మార్కులు; రెండోదానికి పెట్టిన 15 నిమిషాలు నష్టం.
దసరా సెలవుల్లో పది రోజుల ప్రణాళిక
SA1 కి ముందు ఉన్న అతిపెద్ద ఖాళీ సమయం దసరా సెలవులే (12 – 21 అక్టోబర్). రోజుకు రెండు గంటలు ఇలా వాడితే 11 అధ్యాయాలూ ఒకసారి పూర్తవుతాయి:
| రోజు | ఏమి చేయాలి |
|---|---|
| 1 | వాస్తవ సంఖ్యలు, బహుపదులు — కరణీయత నిరూపణ ఒకసారి పూర్తిగా రాయండి |
| 2 | రేఖీయ సమీకరణాల జత — ఒక గ్రాఫ్ ప్రశ్న, ఒక పద సమస్య |
| 3 | వర్గ సమీకరణాలు — కారణాంక విభజన, విచక్షణి, పద సమస్యలు |
| 4 | అంకశ్రేఢులు, త్రిభుజాలు — పైథాగరస్, మూల అనుపాత సిద్ధాంతాల నిరూపణలు |
| 5 | నిరూపక రేఖాగణితం — దూరం, విభజన, వైశాల్యం సూత్రాలు |
| 6 | త్రికోణమితి పరిచయం — ప్రామాణిక కోణాల విలువల పట్టిక, సర్వసమీకరణాలు |
| 7 | త్రికోణమితి అనువర్తనాలు, సంభావ్యత — ప్రతి ప్రశ్నకూ పటం గీసి |
| 8 | సాంఖ్యక శాస్త్రం — అంకమధ్యమం, మధ్యగతం, బాహుళకం ఒక్కో ప్రశ్న |
| 9 | ఈ పేజీలోని పూర్తి పేపర్ — 3 గం. 15 ని. గడియారంతో |
| 10 | 9వ రోజు తప్పులు మాత్రమే — ఆ అధ్యాయాల ప్రశ్నలు మళ్లీ |
అక్టోబర్‌లో కొత్తగా చేరిన Trigonometry పాఠ్యపుస్తక లెక్కల సాధనకు Introduction to Trigonometry Exercise 8.1, 8.2, 8.3 Solutions చూడండి.
ఎత్తులు, దూరాల ప్రశ్నకు సాధన కోసం పాఠ్యపుస్తకంలోని 15 లెక్కలు Some Applications of Trigonometry Exercise 9.1 Solutions లో ఉన్నాయి.
సగటు, బాహుళకం, మధ్యగతం లెక్కల సాధన కోసం పాఠ్యపుస్తకంలోని 22 లెక్కలు Statistics Exercise 13.1, 13.2, 13.3 Solutions లో పూర్తి పట్టికలతో ఉన్నాయి.
అక్టోబర్‌లో చేరిన Probability అధ్యాయం సాధనకు పాఠ్యపుస్తకంలోని 25 ప్రశ్నలు Probability Exercise 14.1 Solutions లో ఉన్నాయి.
SA1 మొదటి అధ్యాయం సాధనకు పాఠ్యపుస్తకంలోని 10 ప్రశ్నలు Real Numbers Exercise 1.1, 1.2 Solutions లో ఉన్నాయి.
శూన్యాలు కనుక్కుని సంబంధం సరిచూసే 4 మార్కుల ప్రశ్నకు సాధన కోసం పాఠ్యపుస్తకంలోని 18 లెక్కలు Polynomials Exercise 2.1, 2.2 Solutions లో ఉన్నాయి.
సమీకరణాల జతను రూపొందించి సాధించే మాటల లెక్కల సాధన కోసం పాఠ్యపుస్తకంలోని 30 లెక్కలు Pair of Linear Equations Exercise 3.1, 3.2, 3.3 Solutions లో ఉన్నాయి.
మూలాల స్వభావం, సమాన మూలాలకు k విలువ, మాటల లెక్కల ప్రశ్నల సాధనకు పాఠ్యపుస్తకంలోని లెక్కలు Quadratic Equations Exercise 4.1, 4.2, 4.3 Solutions లో ఉన్నాయి.
త్రిభుజాల నిరూపణల సాధనకు పాఠ్యపుస్తకంలోని 29 ప్రశ్నలు Triangles Exercise 6.1, 6.2, 6.3 Solutions లో కారణాలతో ఉన్నాయి.
SA1 సిలబస్‌లోని Coordinate Geometry పాఠ్యపుస్తక లెక్కల సాధనకు Coordinate Geometry Exercise 7.1, 7.2 Solutions చూడండి.
సూత్రాలు ఒకే చోట కావాలంటే 10th Class Maths Formulas in Telugu PDF, నిరూపణల కోసం 10th Class Maths Theorems in Telugu PDF పేజీలు ఉన్నాయి. అధ్యాయాల వారీ అదనపు ప్రశ్నలకు AP Board Solutions Class 10 Maths Important Questions 2026-27 చూడండి.
సెలవుల తర్వాత సాయంత్రం స్టడీ అవర్‌లో Mission March స్లిప్ టెస్టులు కొనసాగుతాయి — 28 అక్టోబర్ త్రికోణమితి, 4 నవంబర్ సంభావ్యత. ఇప్పటికే జరిగిన గణితం స్లిప్ టెస్ట్ ఒకటి AP 10th Maths Real Numbers & Polynomials Slip Test PDF పేజీలో ఉంది. ప్రతి అధ్యాయానికీ పాఠ్యపుస్తక సాధనలు AP 10th Class Maths Solutions – Notes, Formulas & Questions Hub లో ఉన్నాయి.
FAQs
10వ తరగతి SA1 గణితం పరీక్ష ఎప్పుడు?
AP SCERT హైస్కూల్ అకడమిక్ క్యాలెండర్ 2026-27 ప్రకారం SA1 పరీక్షలు 9 నుంచి 20 నవంబర్ 2026 మధ్య జరుగుతాయి. గణితం పేపర్ ఏ రోజో చెప్పే సబ్జెక్టు వారీ టైమ్ టేబుల్ SCERT ప్రత్యేక ఉత్తర్వులో వస్తుంది; FA2 కి అది పరీక్షకు 12 రోజుల ముందు వచ్చింది.
SA1 గణితం సిలబస్‌లో ఎన్ని అధ్యాయాలు ఉన్నాయి?
14 లో 11 అధ్యాయాలు: 1 నుంచి 9, 13, 14. జూన్ నుంచి అక్టోబర్ వరకు బోధించినవన్నీ SA1 పరిధిలోకి వస్తాయని అకడమిక్ క్యాలెండర్ చెబుతోంది.
వృత్తాలు, ఉపరితల వైశాల్యాలు SA1 లో వస్తాయా?
రావు. వృత్తాలు, వృత్తాలకు సంబంధించిన వైశాల్యాలు, ఉపరితల వైశాల్యాలు–ఘనపరిమాణాలు — ఈ మూడూ క్యాలెండర్‌లో నవంబర్ పాఠాలు. Mission March షెడ్యూల్‌లోనూ వృత్తాలు, వృత్తాలకు సంబంధించిన వైశాల్యాల స్లిప్ టెస్ట్ SA1 తర్వాతే, 25 నవంబర్ న.
ఈ ప్రశ్నపత్రం అధికారికమైనదా?
కాదు. సిలబస్, తేదీలు అధికారిక పత్రాల నుంచి; ప్రశ్నలు, జవాబులు మేము తయారు చేసినవి. పేపర్ ఆకారం BSE విడుదల చేసిన SSC 2026-27 గణితం మోడల్ పేపర్‌ను అనుసరిస్తుంది. అసలు SA1 పేపర్ వేరుగా ఉంటుంది.
SA1 గణితం పేపర్ ఎన్ని మార్కులు?
పదో తరగతి SA1 కి సబ్జెక్టు వారీ మార్కుల నమూనా SCERT SA1 ఉత్తర్వులో వస్తుంది, అది ఇంకా రాలేదు. మార్చి బోర్డ్ పరీక్ష నమూనా మాత్రం అధికారికంగా తెలుసు: 100 మార్కులు, 3 గంటల 15 నిమిషాలు, 33 ప్రశ్నలు. ఈ సాధన పత్రం ఆ నమూనాలోనే ఉంది.
విభాగం IV లో ఎంపిక ఎలా పనిచేస్తుంది?
ప్రతి 8 మార్కుల ప్రశ్నకూ (a), (b) అని రెండు ప్రశ్నలు ఉంటాయి. ఏదో ఒకదానికే జవాబు రాయాలి. రెండూ రాస్తే ఒకదాన్నే దిద్దుతారు, సమయం మాత్రం వృథా. మొదటి 5 నిమిషాల్లోనే ఏది రాయాలో గుర్తు పెట్టుకోండి.
కరణీయ సంఖ్య నిరూపణ SA1 లో తప్పనిసరిగా వస్తుందా?
ఇది ఖాయంగా చెప్పలేం. కానీ BSE మోడల్ పేపర్‌లో √5 కరణీయత 8 మార్కుల ప్రశ్నగా ఉంది. √2, √3, √5 — మూడింటికీ ఒకే పద్ధతి, ఒక్కటి బాగా నేర్చుకుంటే మిగిలినవి సులభం.
త్రికోణమితి అనువర్తనాల ప్రశ్నలో పటం లేకపోతే మార్కులు పోతాయా?
పోతాయి. ఎత్తులు, దూరాల ప్రశ్నల్లో పటానికి సాధారణంగా ప్రత్యేక మార్కులు ఉంటాయి. ఊర్ధ్వ కోణం, నిమ్న కోణం రెండూ క్షితిజ సమాంతర రేఖ నుంచే కొలవాలి — పటంలో ఆ రేఖ స్పష్టంగా గీయండి.
దసరా సెలవుల్లో SA1 గణితం ఎలా చదవాలి?
సెలవులు 12 నుంచి 21 అక్టోబర్ 2026 (అకడమిక్ క్యాలెండర్). ఈ పేజీలోని పది రోజుల ప్రణాళిక వాడండి: మొదటి ఏడు రోజులు అధ్యాయాల వారీ పునశ్చరణ, ఎనిమిదో రోజు గడియారం పెట్టి పూర్తి పేపర్, చివరి రెండు రోజులు తప్పుల సవరణ.
FA1, FA2 పేపర్లు SA1 కి ఉపయోగపడతాయా?
ఉపయోగపడతాయి. FA1, FA2 సిలబస్ రెండూ SA1 లో భాగమే. కానీ అక్టోబర్‌లో చెప్పిన త్రికోణమితి, దాని అనువర్తనాలు, సంభావ్యత FA పేపర్లలో లేవు — వాటికి విడిగా సాధన కావాలి.
Mission March స్లిప్ టెస్టులకూ SA1 కూ సంబంధం ఉందా?
ఉంది. BSE షెడ్యూల్ ప్రకారం 28 అక్టోబర్ గణితం స్లిప్ టెస్ట్ త్రికోణమితి మీద, 4 నవంబర్ టెస్ట్ సంభావ్యత మీద. 7 నవంబర్ నుంచి సాయంత్రం స్టడీ అవర్ SA1 పునశ్చరణకే కేటాయించారు.
ఈ పేపర్‌కు PDF ఉందా?
ఉంది. ప్రశ్నపత్రం, జవాబుల పత్రం ఒకే ఫైల్‌లో, తెలుగు మాధ్యమంలో. కింద ఉన్న Download PDF లింక్ నొక్కండి.
Official Sources
SA1 తేదీలు, నెలవారీ సిలబస్: AP SCERT — High School Academic Calendar 2026-27. స్లిప్ టెస్ట్ తేదీలు, SSC 2026-27 మోడల్ పేపర్: Board of Secondary Education, Andhra Pradesh. SA1 ఉత్తర్వు వచ్చాక గణితం పేపర్ తేదీ, మార్కులు మీ పాఠశాల సర్క్యులర్‌లో సరిచూసుకోండి.