AP 10th Class Maths Introduction to Trigonometry Solutions — అధ్యాయం 8 లోని Exercise 8.1 (త్రికోణమితి నిష్పత్తులు), 8.2 (ప్రత్యేక కోణాల విలువలు), 8.3 (త్రికోణమితి సర్వసమీకరణాలు) లోని అన్ని ప్రశ్నలకు దశలవారీ జవాబులు. ప్రశ్నలు AP SCERT పుస్తకంలో ఉన్నట్టే ఇంగ్లీష్‌లో, వివరణ తెలుగులో. ముందు మీరే చేసి, తర్వాత “జవాబు చూడండి” నొక్కండి; సరిపోతే టిక్ పెడితే స్కోర్ కనిపిస్తుంది.
Trigonometry తర్వాత Applications, Statistics, Probability జవాబులు వచ్చినప్పుడు వెంటనే లింక్ కావాలంటే WhatsApp గ్రూప్‌లో చేరండి
ఈ పేజీలో: అధ్యాయంలో ఏముంది | విలువల పట్టిక | Exercise 8.1 | Exercise 8.2 | Exercise 8.3 | మార్కులు పోయే చోట్లు | FAQs
AP 10th Class Maths Introduction to Trigonometry Solutions — ఈ అధ్యాయంలో ఏముంది
| Exercise | ముఖ్య అంశం | ప్రశ్నలు |
|---|---|---|
| 8.1 | లంబకోణ త్రిభుజంలో sin, cos, tan, cosec, sec, cot నిష్పత్తులు | 11 |
| 8.2 | 0°, 30°, 45°, 60°, 90° కోణాల విలువలతో లెక్కలు | 4 |
| 8.3 | సర్వసమీకరణాలు: sin2A + cos2A = 1 మొదలైనవి, నిరూపణలు | 4 (ప్రశ్న 4 లో 10 నిరూపణలు) |
SA1 కి ఎందుకు ముఖ్యం: Introduction to Trigonometry అక్టోబర్‌లో బోధించే అధ్యాయం. FA1, FA2 లలో రాలేదు, కానీ SA1 సిలబస్‌లో ఉంది (AP SA1 Syllabus 2026-27 చూడండి). ఈ పేజీలోని ప్రశ్నల పాఠాన్ని AP SCERT ప్రచురించిన 10వ తరగతి గణితం Semester 2 పాఠ్యపుస్తకం నుంచే తీసుకున్నాం.
త్రికోణమితి విలువల పట్టిక, సర్వసమీకరణాలు
| ∠ A | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin A | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos A | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan A | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | నిర్వచించబడదు |
| cosec A | నిర్వచించబడదు | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| sec A | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | నిర్వచించబడదు |
| cot A | నిర్వచించబడదు | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
మూడు సర్వసమీకరణాలు: sin2A + cos2A = 1, sec2A − tan2A = 1 (0° ≤ A < 90°), cosec2A − cot2A = 1 (0° < A ≤ 90°). Exercise 8.3 మొత్తం ఈ మూడింటి మీదే ఆధారపడి ఉంది.
విలువల పట్టిక, మూడు సర్వసమీకరణాలు ఒకే చిత్రంలో — పరీక్ష ముందు చూసుకోవడానికి ఫోన్‌లో సేవ్ చేసుకోండి.
AP 10th Class Maths Introduction to Trigonometry Exercise 8.1 Solutions
ప్రతి లెక్కలో మొదటి అడుగు ఒకటే: ఇచ్చిన నిష్పత్తి నుంచి రెండు భుజాలు తీసుకుని, పైథాగరస్‌తో మూడో భుజం కనుక్కోవడం. ఆ తర్వాత ఏ నిష్పత్తి అయినా నేరుగా వస్తుంది.
1. In Δ ABC, right-angled at B, AB = 24 cm, BC = 7 cm. Determine :
(i) sin A, cos A (ii) sin C, cos C
జవాబు చూడండి
(i) కోణం A కి ఎదుటి భుజం BC, ఆసన్న భుజం AB: sin A = 7/25, cos A = 24/25
(ii) కోణం C కి ఎదుటి భుజం AB, ఆసన్న భుజం BC: sin C = 24/25, cos C = 7/25
2. In Fig. 8.13, find tan P – cot R.
జవాబు చూడండి
QR2 = 132 − 122 = 25, కాబట్టి QR = 5 cm.
tan P = QR/PQ = 5/12; cot R = QR/PQ = 5/12 (కోణం R కి ఆసన్న భుజం QR, ఎదుటి భుజం PQ)
tan P − cot R = 5/12 − 5/12 = 0
3. If sin A = 3/4, calculate cos A and tan A.
జవాబు చూడండి
cos A = √7/4, tan A = 3/√7
4. Given 15 cot A = 8, find sin A and sec A.
జవాబు చూడండి
sin A = 15/17, sec A = 17/8
5. Given sec θ = 13/12, calculate all other trigonometric ratios.
జవాబు చూడండి
sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12, cosec θ = 13/5, cot θ = 12/5
6. If ∠ A and ∠ B are acute angles such that cos A = cos B, then show that ∠ A = ∠ B.
జవాబు చూడండి
cos A = AC/AB, cos B = BC/AB.
cos A = cos B కాబట్టి AC/AB = BC/AB, అంటే AC = BC.
సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు సమానం, కాబట్టి ∠A = ∠B.
7. If cot θ = 7/8, evaluate :
(i) (1 + sin θ)(1 − sin θ) / [(1 + cos θ)(1 − cos θ)] (ii) cot2 θ
జవాబు చూడండి
కాబట్టి విలువ = cos2θ/sin2θ = cot2θ = (7/8)2 = 49/64
(ii) cot2θ = 49/64
8. If 3 cot A = 4, check whether (1 − tan2A)/(1 + tan2A) = cos2A − sin2A or not.
జవాబు చూడండి
ఎడమ వైపు = (1 − 9/16)/(1 + 9/16) = (7/16)/(25/16) = 7/25
కుడి వైపు = 16/25 − 9/25 = 7/25
రెండూ సమానం. కాబట్టి ఇచ్చిన సమానత్వం సరైనదే.
9. In triangle ABC, right-angled at B, if tan A = 1/√3, find the value of:
(i) sin A cos C + cos A sin C (ii) cos A cos C − sin A sin C
జవాబు చూడండి
sin A = 1/2, cos A = √3/2, sin C = AB/AC = √3/2, cos C = BC/AC = 1/2.
(i) (1/2)(1/2) + (√3/2)(√3/2) = 1/4 + 3/4 = 1
(ii) (√3/2)(1/2) − (1/2)(√3/2) = 0
10. In Δ PQR, right-angled at Q, PR + QR = 25 cm and PQ = 5 cm. Determine the values of sin P, cos P and tan P.
జవాబు చూడండి
625 − 50x = 25 ⇒ x = 12. కాబట్టి QR = 12 cm, PR = 13 cm.
sin P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5
11. State whether the following are true or false. Justify your answer.
(i) The value of tan A is always less than 1.
(ii) sec A = 12/5 for some value of angle A.
(iii) cos A is the abbreviation used for the cosecant of angle A.
(iv) cot A is the product of cot and A.
(v) sin θ = 4/3 for some angle θ.
జవాబు చూడండి
(ii) నిజం. sec A = కర్ణం/ఆసన్న భుజం; కర్ణం 12, ఆసన్న భుజం 5 ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజం సాధ్యమే (12/5 > 1).
(iii) తప్పు. cos A అంటే cosine; cosecant కి గుర్తు cosec A.
(iv) తప్పు. cot A ఒకే గుర్తు (cotangent of A); “cot” విడిగా ఏ అర్థమూ లేదు.
(v) తప్పు. sin θ = ఎదుటి భుజం/కర్ణం; కర్ణం అతి పెద్ద భుజం కాబట్టి sin θ ఎప్పుడూ 1 కంటే ఎక్కువ కాదు.
AP 10th Class Maths Introduction to Trigonometry Exercise 8.2 Solutions
ఇక్కడ పైన ఉన్న విలువల పట్టిక ఒక్కటే చాలు. ప్రశ్న సంఖ్యలు స్కోర్ కోసం వరుసగా కొనసాగుతాయి; బ్రాకెట్‌లో పుస్తకంలోని అసలు సంఖ్య ఉంది.
12. (8.2 – 1) Evaluate the following :
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan2 45° + cos2 30° − sin2 60°
(iii) cos 45° / (sec 30° + cosec 30°)
(iv) (sin 30° + tan 45° − cosec 60°) / (sec 30° + cos 60° + cot 45°)
(v) (5 cos2 60° + 4 sec2 30° − tan2 45°) / (sin2 30° + cos2 30°)
జవాబు చూడండి
(ii) 2(1) + 3/4 − 3/4 = 2
(iii) (1/√2) / (2/√3 + 2) = √3 / [2√2 (√3 + 1)] = √3(√3 − 1) / (2√2 × 2) = (3 − √3)/(4√2) = (3√2 − √6)/8
(iv) లవం = 1/2 + 1 − 2/√3 = (3√3 − 4)/(2√3); హారం = 2/√3 + 1/2 + 1 = (3√3 + 4)/(2√3)
విలువ = (3√3 − 4)/(3√3 + 4) = (3√3 − 4)2/(27 − 16) = (43 − 24√3)/11
(v) హారం = 1/4 + 3/4 = 1; లవం = 5(1/4) + 4(4/3) − 1 = 5/4 + 16/3 − 1 = 67/12
13. (8.2 – 2) Choose the correct option and justify your choice :
(i) 2 tan 30° / (1 + tan2 30°) = (A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
(ii) (1 − tan2 45°) / (1 + tan2 45°) = (A) tan 90° (B) 1 (C) sin 45° (D) 0
(iii) sin 2A = 2 sin A is true when A = (A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
(iv) 2 tan 30° / (1 − tan2 30°) = (A) cos 60° (B) sin 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
జవాబు చూడండి
(ii) (1 − 1)/(1 + 1) = 0 ⇒ (D)
(iii) A = 0° అయితే sin 0° = 0, 2 sin 0° = 0, రెండూ సమానం. 30° దగ్గర sin 60° = √3/2 కానీ 2 sin 30° = 1, సమానం కాదు ⇒ (A)
(iv) (2/√3)/(1 − 1/3) = (2/√3)(3/2) = √3 = tan 60° ⇒ (C)
14. (8.2 – 3) If tan (A + B) = √3 and tan (A – B) = 1/√3; 0° < A + B ≤ 90°; A > B, find A and B.
జవాబు చూడండి
tan (A − B) = 1/√3 = tan 30° ⇒ A − B = 30°
రెండింటినీ కలిపితే 2A = 90°. A = 45°, B = 15°
15. (8.2 – 4) State whether the following are true or false. Justify your answer.
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) The value of sin θ increases as θ increases.
(iii) The value of cos θ increases as θ increases.
(iv) sin θ = cos θ for all values of θ.
(v) cot A is not defined for A = 0°.
జవాబు చూడండి
(ii) నిజం (0° నుంచి 90° వరకు): sin విలువలు 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 గా పెరుగుతాయి.
(iii) తప్పు. cos విలువలు 1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0 గా తగ్గుతాయి.
(iv) తప్పు. 45° దగ్గర మాత్రమే సమానం; ఉదా: sin 0° = 0, cos 0° = 1.
(v) నిజం. cot 0° = cos 0°/sin 0° = 1/0, నిర్వచించబడదు.
AP 10th Class Maths Introduction to Trigonometry Exercise 8.3 Solutions
నిరూపణల్లో సులభమైన దారి: అన్నింటినీ sin, cos లోకి మార్చడం, లేదా ఒక వైపు (సాధారణంగా ఎక్కువ పెద్దగా ఉన్న వైపు) నుంచి మొదలుపెట్టి రెండో వైపుకు చేరడం. ప్రశ్న 4 లోని పది నిరూపణలను విడివిడిగా ఇచ్చాం.
16. (8.3 – 1) Express the trigonometric ratios sin A, sec A and tan A in terms of cot A.
జవాబు చూడండి
sec2A = 1 + tan2A = 1 + 1/cot2A ⇒ sec A = √(1 + cot2A)/cot A
tan A = 1/cot A
17. (8.3 – 2) Write all the other trigonometric ratios of ∠ A in terms of sec A.
జవాబు చూడండి
sin A = √(1 − cos2A) = √(sec2A − 1)/sec A
tan A = √(sec2A − 1) (sec2A − tan2A = 1 నుంచి)
cot A = 1/√(sec2A − 1), cosec A = sec A/√(sec2A − 1)
18. (8.3 – 3) Choose the correct option. Justify your choice.
(i) 9 sec2 A – 9 tan2 A = (A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0
(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) = (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) –1
(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) = (A) sec A (B) sin A (C) cosec A (D) cos A
(iv) (1 + tan2A)/(1 + cot2A) = (A) sec2 A (B) –1 (C) cot2 A (D) tan2 A
జవాబు చూడండి
(ii) = [(cosθ + sinθ + 1)/cosθ] × [(sinθ + cosθ − 1)/sinθ] = [(sinθ + cosθ)2 − 1]/(sinθ cosθ) = 2 sinθ cosθ/(sinθ cosθ) = 2 ⇒ (C)
(iii) [(1 + sin A)/cos A](1 − sin A) = (1 − sin2A)/cos A = cos2A/cos A = cos A ⇒ (D)
(iv) sec2A/cosec2A = sin2A/cos2A = tan2A ⇒ (D)
8.3 – 4. Prove the following identities, where the angles involved are acute angles for which the expressions are defined.
19. (8.3 – 4) (i) (cosec θ – cot θ)2 = (1 – cos θ)/(1 + cos θ)
జవాబు చూడండి
= (1 − cosθ)2/(1 − cos2θ) = (1 − cosθ)2/[(1 − cosθ)(1 + cosθ)] = (1 − cosθ)/(1 + cosθ) = RHS
20. (8.3 – 4) (ii) cos A/(1 + sin A) + (1 + sin A)/cos A = 2 sec A
జవాబు చూడండి
21. (8.3 – 4) (iii) tan θ/(1 – cot θ) + cot θ/(1 – tan θ) = 1 + sec θ cosec θ [Hint : Write the expression in terms of sin θ and cos θ]
జవాబు చూడండి
= 1 + (sinθ/cosθ + cosθ/sinθ) = 1 + (sin2θ + cos2θ)/(sinθ cosθ) = 1 + secθ cosecθ = RHS
22. (8.3 – 4) (iv) (1 + sec A)/sec A = sin2A/(1 – cos A) [Hint : Simplify LHS and RHS separately]
జవాబు చూడండి
RHS = (1 − cos2A)/(1 − cos A) = (1 − cos A)(1 + cos A)/(1 − cos A) = 1 + cos A
LHS = RHS
23. (8.3 – 4) (v) (cos A – sin A + 1)/(cos A + sin A – 1) = cosec A + cot A, using the identity cosec2A = 1 + cot2A.
జవాబు చూడండి
లవంలో 1 = cosec2A − cot2A పెడితే: cot A + cosec A − (cosec A − cot A)(cosec A + cot A) = (cosec A + cot A)(1 − cosec A + cot A)
హారం (cot A − cosec A + 1) కొట్టుకుపోతుంది. LHS = cosec A + cot A = RHS
24. (8.3 – 4) (vi) √[(1 + sin A)/(1 – sin A)] = sec A + tan A
జవాబు చూడండి
25. (8.3 – 4) (vii) (sin θ – 2 sin3θ)/(2 cos3θ – cos θ) = tan θ
జవాబు చూడండి
కాబట్టి LHS = sinθ/cosθ = tanθ = RHS
26. (8.3 – 4) (viii) (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2A + cot2A
జవాబు చూడండి
= 1 + 4 + (1 + cot2A) + (1 + tan2A) = 7 + tan2A + cot2A = RHS
27. (8.3 – 4) (ix) (cosec A – sin A)(sec A – cos A) = 1/(tan A + cot A) [Hint : Simplify LHS and RHS separately]
జవాబు చూడండి
RHS = 1/(sin A/cos A + cos A/sin A) = sin A cos A/(sin2A + cos2A) = sin A cos A
LHS = RHS
28. (8.3 – 4) (x) (1 + tan2A)/(1 + cot2A) = [(1 – tan A)/(1 – cot A)]2 = tan2A
జవాబు చూడండి
రెండో భాగం: tan A = t అనుకుంటే (1 − t)/(1 − 1/t) = (1 − t)t/(t − 1) = −t, దాని వర్గం t2 = tan2A
మూడూ సమానం.
Trigonometry లో మార్కులు ఎక్కడ పోతాయి
- ఎదుటి భుజం, ఆసన్న భుజం గందరగోళం: కోణం మారితే అవి తారుమారు అవుతాయి. 8.1 ప్రశ్న 1 లో sin A = 7/25 అయితే sin C = 24/25.
- sin2A ని sin A2 గా రాయడం: sin2A అంటే (sin A)2; కోణాన్ని వర్గం చేయకూడదు.
- నిరూపణలో రెండు వైపులా ఒకేసారి మార్పులు: ఒక వైపు నుంచి మొదలుపెట్టి రెండో వైపు వచ్చేవరకు సాగాలి; సూచనలో “separately” అని ఉంటేనే రెండు వైపులా విడిగా సరళీకరించాలి.
- కరణీల హేతుబద్ధీకరణ వదిలేయడం: 8.2 ప్రశ్న 1 (iii), (iv) లో చివరి జవాబును హారంలో కరణీ లేకుండా రాయాలి.
- నిజం/తప్పు ప్రశ్నలకు కారణం రాయకపోవడం: “Justify” అని ఉంది కాబట్టి ఒక ఉదాహరణ లేదా ఒక వాక్యం కారణం తప్పనిసరి.
దీని తర్వాతి అధ్యాయం Some Applications of Trigonometry; ఈ పట్టికలోని విలువలే అక్కడ ఎత్తులు, దూరాల లెక్కల్లో వాడతాం. ముందరి అధ్యాయం జవాబులు AP 10th Class Maths Coordinate Geometry Solutions లో, మిగతా అధ్యాయాలు AP 10th Class Maths Solutions హబ్‌లో, అధ్యాయాల వారీ నోట్స్ AP 10th Class Maths Study Material PDF లో, సూత్రాల జాబితా 10th Class Maths Formulas in Telugu లో ఉన్నాయి.
తర్వాత ఏం చదవాలి
- AP 10th Class SA1 Maths Question Paper 2026-27 — Trigonometry ప్రశ్నలతో కలిపి పూర్తి SA1 నమూనా
- AP 10th Class Maths Coordinate Geometry Solutions — అధ్యాయం 7, Exercise 7.1, 7.2
- AP Board Solutions Class 10 — హోమ్‌పేజీలోని SA1 ట్రాకర్‌లో Trigonometry కి టిక్ పెట్టండి
FAQs
AP 10th Class Introduction to Trigonometry లో ఎన్ని ఎక్సర్‌సైజ్‌లు ఉన్నాయి?
AP SCERT Semester 2 పుస్తకంలో మూడు: Exercise 8.1 (11 ప్రశ్నలు), 8.2 (4 ప్రశ్నలు), 8.3 (4 ప్రశ్నలు). అన్నింటి జవాబులు ఈ పేజీలో ఉన్నాయి.
Trigonometry SA1 పరీక్షలో వస్తుందా?
అవును. SCERT అకడమిక్ క్యాలెండర్ ప్రకారం Introduction to Trigonometry అక్టోబర్‌లో బోధిస్తారు, SA1 సిలబస్‌లో ఉంది.
sin 30°, cos 60° విలువ ఎంత?
రెండూ 1/2. పైన ఉన్న విలువల పట్టికలో 0° నుంచి 90° వరకు అన్ని విలువలు ఉన్నాయి.
tan 90° విలువ ఎంత?
నిర్వచించబడదు, ఎందుకంటే cos 90° = 0 తో భాగించాలి. అలాగే cot 0°, cosec 0°, sec 90° కూడా నిర్వచించబడవు.
మూడు త్రికోణమితి సర్వసమీకరణాలు ఏమిటి?
sin2A + cos2A = 1, sec2A − tan2A = 1, cosec2A − cot2A = 1.
sin A విలువ 1 కంటే ఎక్కువ ఉండవచ్చా?
ఉండదు. sin A = ఎదుటి భుజం/కర్ణం, కర్ణం ఎప్పుడూ అతి పెద్ద భుజం. అందుకే 8.1 ప్రశ్న 11 (v) తప్పు.
8.1 ప్రశ్న 9 (ii) జవాబు ఎంత?
సున్నా. tan A = 1/√3 అయితే A = 30°, C = 60°, కాబట్టి cos A cos C − sin A sin C = √3/4 − √3/4 = 0.
tan (A + B) = √3, tan (A − B) = 1/√3 అయితే A, B ఎంత?
A + B = 60°, A − B = 30°, కాబట్టి A = 45°, B = 15°.
నిరూపణలు ఎలా మొదలుపెట్టాలి?
ఎక్కువ పదాలు ఉన్న వైపు నుంచి మొదలుపెట్టి, అన్నింటినీ sin, cos లోకి మార్చండి. సూచనలో “Simplify LHS and RHS separately” అని ఉంటే రెండు వైపులా విడిగా సరళీకరించండి.
cosec2A = 1 + cot2A ఏ ప్రశ్నలో అవసరం?
8.3 ప్రశ్న 1 (sin A ని cot A లో రాయడం), ప్రశ్న 4 (v) నిరూపణలో. 4 (v) లో “1” స్థానంలో cosec2A − cot2A పెట్టడమే ఉపాయం.
తెలుగు మీడియంలో చదివేవాళ్ళకు ఈ పేజీ సరిపోతుందా?
అవును. ప్రశ్నలు పుస్తకంలోని ఇంగ్లీష్ రూపంలో ఉన్నా, ప్రతి దశ వివరణ తెలుగులోనే ఉంది. పుస్తకం రెండు భాషల్లో ఒకే ప్రశ్నలు ఇస్తుంది.
మూలం: AP SCERT 10వ తరగతి గణితం పాఠ్యపుస్తకం (Semester 2, అధ్యాయం 8). అధికారిక పాఠ్యపుస్తకాలు, పాఠశాల విద్యాశాఖ సమాచారం కోసం Commissionerate of School Education, Andhra Pradesh సైట్ చూడండి.