AP 10th Class Maths Chapter 3 – Pair of Linear Equations Exercise 3.2 Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Exercise 3.1 లో గ్రాఫికల్ మెథడ్ నేర్చుకున్నాం, ఇప్పుడు Exercise 3.2 లో Substitution Method — అంటే ఒక సమీకరణం నుండి ఒక variable ని కనుక్కుని, దాన్ని రెండో సమీకరణంలో పెట్టి solve చేసే పద్ధతి నేర్చుకుందాం.

Question 1.

Solve the following pair of linear equations by the substitution method.

i) x + y = 14, x − y = 4

x − y = 4 → x = 4 + y … (2)
(2) ని (1) లో పెడితే: (4 + y) + y = 14 → 2y = 10 → y = 5
x = 4 + 5 = 9

x = 9, y = 5

Check: 9 + 5 = 14 ✓

ii) s − t = 3, s/3 + t/2 = 6

s/3 + t/2 = 6 → 2s + 3t = 36 … (2)
s − t = 3 → s = 3 + t … (1)
(1) ని (2) లో పెడితే: 2(3+t) + 3t = 36 → 6 + 5t = 36 → t = 6
s = 3 + 6 = 9

s = 9, t = 6

iii) 3x − y = 3, 9x − 3y = 9

3x − y = 3 → y = 3x − 3
9x − 3(3x−3) = 9 → 9x − 9x + 9 = 9 → 9 = 9 (ఎప్పుడూ నిజం)

ఇది రెండు సమీకరణాలూ ఒకే రేఖ (coincident lines) అని చూపిస్తుంది (9x−3y=9 అనేది 3x−y=3 ని 3 తో గుణిస్తే వచ్చినదే).

∴ అనంతమైన (Infinite) సొల్యూషన్స్ ఉంటాయి.

iv) 0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x + 0.5y = 2.3

(1) ని 2 తో గుణిస్తే: 0.4x + 0.6y = 2.6 … (3)
(3) − (2): 0.1y = 0.3 → y = 3
0.2x + 0.9 = 1.3 → 0.2x = 0.4 → x = 2

x = 2, y = 3

v) √2x + √3y = 0, √3x − √8y = 0

√2x + √3y = 0 → x = −√3y/√2

దీన్ని రెండో సమీకరణంలో పెడితే:
√3(−√3y/√2) − √8y = 0
−3y/√2 − √8y = 0
y(−3/√2 − √8) = 0

కుండలీలో ఉన్న భాగం సున్నా కాదు కాబట్టి, y = 0
x = 0

x = 0, y = 0

vi) (3x)/2 − (5y)/3 = −2, x/3 + y/2 = 13/6

(1) ని 6 తో గుణిస్తే: 9x − 10y = −12 … (3)
(2) ని 6 తో గుణిస్తే: 2x + 3y = 13 → x = (13−3y)/2 … (4)

(4) ని (3) లో పెడితే:
9(13−3y)/2 − 10y = −12
9(13−3y) − 20y = −24
117 − 27y − 20y = −24
117 − 47y = −24
47y = 141
y = 3

x = (13−9)/2 = 2

x = 2, y = 3

Check: 2(2) + 3(3) = 4+9 = 13 ✓

Question 2.

Solve 2x + 3y = 11 and 2x − 4y = −24 and hence find the value of ‘m’ for which y = mx + 3.

Solution:

2x + 3y = 11 … (1)
2x − 4y = −24 … (2)

(1) − (2): 7y = 35 → y = 5
2x = 11 − 15 = −4 → x = −2

x = −2, y = 5

m కనుక్కోవడానికి, y = mx + 3 లో పెడితే:
5 = m(−2) + 3
−2m = 2
m = −1

Question 3.

Form the pair of linear equations and solve by substitution method.

i) రెండు సంఖ్యల భేదం 26, ఒకటి రెండోదానికి 3 రెట్లు

x − y = 26, x = 3y
3y − y = 26 → 2y = 26 → y = 13, x = 39

సంఖ్యలు: 39, 13

ii) Supplementary Angles, పెద్దది చిన్నదాని కంటే 18° ఎక్కువ

x + y = 180, x − y = 18
2x = 198 → x = 99, y = 81

కోణాలు: 99°, 81°

iii) 7 bats + 6 balls = ₹3800; 3 bats + 5 balls = ₹1750

7x + 6y = 3800 … (1)
3x + 5y = 1750 → x = (1750−5y)/3 … (2)

(2) ని (1) లో పెడితే:
7(1750−5y)/3 + 6y = 3800
7(1750−5y) + 18y = 11400
12250 − 35y + 18y = 11400
−17y = −850
y = 50

x = (1750−250)/3 = 500

Bat ధర = ₹500, Ball ధర = ₹50

Check: 7(500)+6(50) = 3500+300 = 3800 ✓

iv) Taxi: 10 km కి ₹105, 15 km కి ₹155

x + 10y = 105 … (1)
x + 15y = 155 … (2)

(2) − (1): 5y = 50 → y = 10
x = 105 − 100 = 5

Fixed Charge = ₹5, Per km Charge = ₹10

25 km కి చార్జ్ = x + 25y = 5 + 250 = ₹255

v) x/y భిన్నం; న్యూమరేటర్, డినామినేటర్‌లకు 2 కలిపితే 9/11; 3 కలిపితే 5/6

(x+2)/(y+2) = 9/11 → 11x − 9y = −4 … (1)
(x+3)/(y+3) = 5/6 → 6x − 5y = −3 … (2)

(1) నుండి: x = (9y−4)/11

(2) లో పెడితే:
6(9y−4)/11 − 5y = −3
6(9y−4) − 55y = −33
54y − 24 − 55y = −33
−y = −9
y = 9

x = (81−4)/11 = 7

భిన్నం (Fraction) = 7/9

Check: (7+2)/(9+2) = 9/11 ✓; (7+3)/(9+3) = 10/12 = 5/6 ✓

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

Substitution Method లో, ఏ variable ని కనుక్కోవడం సులభమో దాన్ని ముందుగా express చేయండి (fraction లేని variable ఎంచుకోవడం మంచిది)
0 = 0 వచ్చినప్పుడు అది coincident lines (infinite solutions) ని సూచిస్తుంది, ఇది తప్పు కాదు
Word problems లో, ముందుగా variables ని స్పష్టంగా define చేసి, తర్వాత రెండు సమీకరణాలు ఏర్పరచడం ముఖ్యం
ప్రతి సమాధానాన్ని అసలు సమీకరణాల్లో పెట్టి verify (check) చేయడం మర్చిపోకండి — ఇది board exam లో మార్కులు తెచ్చే స్టెప్

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Substitution Method అంటే ఏమిటి?
ఒక సమీకరణం నుండి ఒక variable ని రెండో variable పరంగా express చేసి, దాన్ని రెండో సమీకరణంలో పెట్టి solve చేసే పద్ధతి.

2. 0 = 0 వచ్చినప్పుడు దాని అర్థం ఏమిటి?
ఇది రెండు సమీకరణాలూ ఒకే రేఖను సూచిస్తాయని (coincident lines), కాబట్టి అనంతమైన సొల్యూషన్స్ ఉంటాయని అర్థం.

3. ఏ variable ని ముందు express చేయాలో ఎలా నిర్ణయించాలి?
సాధారణంగా, whose coefficient 1 గా ఉందో, లేదా fraction రాకుండా సులభంగా express అయ్యే variable ని ఎంచుకోవాలి.