AP 10th Class Maths Polynomials Solutions – Exercise 2.1, 2.2

AP 10th Class Maths Polynomials Solutions — అధ్యాయం 2 (బహుపదులు) లోని Exercise 2.1, 2.2 లోని మొత్తం 18 లెక్కలకు దశలవారీ జవాబులు. గ్రాఫ్ నుంచి శూన్యాల సంఖ్య చెప్పడం, వర్గ బహుపది శూన్యాలు కనుక్కుని శూన్యాలకూ గుణకాలకూ మధ్య సంబంధం సరిచూడడం, మొత్తం, లబ్ధం ఇస్తే బహుపది రాయడం — ప్రతిదీ పరీక్షలో రాసే విధంగా. ప్రశ్నలు AP SCERT పుస్తకంలో ఉన్నట్టే ఇంగ్లీష్‌లో, వివరణ తెలుగులో.

ఈ పేజీలో: అధ్యాయంలో ఏముంది | ముఖ్య సూత్రాలు | Exercise 2.1 | Exercise 2.2 | మార్కులు పోయే చోట్లు | FAQs

AP 10th Class Maths Polynomials Solutions — ఈ అధ్యాయంలో ఏముంది

Polynomials ముఖ్య సూత్రాలు

1. పరిమాణం (degree): 1 అయితే రేఖీయ, 2 అయితే వర్గ, 3 అయితే ఘన బహుపది. వర్గ బహుపది సాధారణ రూపం ax² + bx + c (a ≠ 0).
2. శూన్యం: p(k) = 0 అయితే k ఆ బహుపది శూన్యం. గ్రాఫ్‌లో y = p(x) వక్రరేఖ x-అక్షాన్ని ఖండించే లేదా తాకే బిందువుల x-నిరూపకాలే శూన్యాలు.
3. గరిష్ఠ శూన్యాలు: వర్గ బహుపదికి గరిష్ఠంగా 2, ఘన బహుపదికి గరిష్ఠంగా 3 శూన్యాలు.
4. α + β = −b/a, αβ = c/a — వర్గ బహుపది ax² + bx + c శూన్యాలు α, β అయితే.
5. మొత్తం k, లబ్ధం m ఇస్తే: బహుపది = x² − kx + m. భిన్నాలు ఉంటే హారాల కసాగుతో గుణించి పూర్ణసంఖ్య గుణకాలుగా రాయవచ్చు.

ఆరు రకాల గ్రాఫ్‌లలో శూన్యాల సంఖ్య (ఎరుపు చుక్కలు), α + β, αβ సూత్రాలు — ఒకే చిత్రంలో. ఇవి మేము గీసిన నమూనా గ్రాఫ్‌లు; పుస్తకంలోని పటం 2.10 ఆకారాలే.

AP 10th Class Maths Polynomials Exercise 2.1 Solutions (Number of Zeroes from Graph)

పుస్తకంలోని పటం 2.10 లో ఆరు గ్రాఫ్‌లు ఉన్నాయి. ప్రతి గ్రాఫ్ ఎలా ఉందో ప్రశ్న కిందే రాశాం. గుర్తుంచుకోండి: వక్రరేఖ x-అక్షాన్ని ఎన్ని చోట్ల ఖండిస్తే లేదా తాకితే అన్ని శూన్యాలు; y-అక్షంతో సంబంధం లేదు.

1. The graphs of y = p(x) are given in Fig. 2.10 below, for some polynomials p(x). Find the number of zeroes of p(x), in each case.

1 (i). గ్రాఫ్: x-అక్షానికి పైన, దానికి సమాంతరంగా ఉన్న సరళరేఖ.

1 (ii). గ్రాఫ్: ఎడమవైపు x-అక్షానికి కింద మొదలై, ఒక చిన్న వంపు తర్వాత కుడివైపు పైకి వెళ్ళే వక్రరేఖ.

1 (iii). గ్రాఫ్: కింద నుంచి పైకి వెళ్లి, మళ్లీ కిందికి దిగి, మళ్లీ పైకి వెళ్ళే వక్రరేఖ.

1 (iv). గ్రాఫ్: y-అక్షానికి ఎడమవైపు ఉన్న U ఆకారపు వక్రరేఖ (పరావలయం), దాని అడుగు భాగం x-అక్షానికి కింద ఉంది.

1 (v). గ్రాఫ్: రెండు శిఖరాలు, మధ్యలో ఒక లోయ ఉన్న అల లాంటి వక్రరేఖ.

1 (vi). గ్రాఫ్: ఎడమవైపు కింద నుంచి పైకి వచ్చి x-అక్షాన్ని ఒకసారి ఖండించి, తర్వాత రెండుసార్లు x-అక్షాన్ని తాకి మళ్లీ పైకి వెళ్ళే వక్రరేఖ.

AP 10th Class Maths Polynomials Exercise 2.2 Solutions (Zeroes and Coefficients)

ప్రశ్న 1 లో ముందు మధ్యపదాన్ని విడగొట్టి కారణాంకాలుగా రాసి శూన్యాలు కనుక్కోవాలి; తర్వాత మొత్తం, లబ్ధం రెండూ సరిచూడాలి. ప్రశ్న 2 లో x² − (మొత్తం)x + (లబ్ధం) సూత్రం చాలు.

1. Find the zeroes of the following quadratic polynomials and verify the relationship between the zeroes and the coefficients.

1 (i). x² − 2x − 8

1 (ii). 4s² − 4s + 1

1 (iii). 6x² − 3 − 7x

1 (iv). 4u² + 8u

1 (v). t² − 15

1 (vi). 3x² − x − 4

2. Find a quadratic polynomial each with the given numbers as the sum and product of its zeroes respectively.

2 (i). 1/4, −1

2 (ii). √2, 1/3

2 (iii). 0, √5

2 (iv). 1, 1

2 (v). −1/4, 1/4

2 (vi). 4, 1

Polynomials లో మార్కులు ఎక్కడ పోతాయి

1. తాకిన బిందువును లెక్కించకపోవడం: 2.1 (vi) లో గ్రాఫ్ ఒక చోట x-అక్షాన్ని ఖండిస్తుంది, మరో రెండు చోట్ల తాకి వెనక్కి వెళ్తుంది; తాకిన బిందువులూ శూన్యాలే. అందుకే జవాబు 3.
2. ప్రామాణిక రూపంలో రాయకుండా a, b, c తీసుకోవడం: 6x² − 3 − 7x లో b = −7, c = −3. వరుస మార్చకుండా చదివితే b, c తారుమారు అవుతాయి.
3. −b/a లో గుర్తు మర్చిపోవడం: x² − 2x − 8 లో b = −2, కాబట్టి −b/a = +2.
4. సంబంధం “సరిచూడకపోవడం”: ప్రశ్న “verify” అని అడిగింది; శూన్యాలు రాసి ఆపేస్తే జవాబు పూర్తి కాదు. మొత్తం, లబ్ధం రెండూ రాసి సరిచూపండి.
5. b = 0 లేదా c = 0 కేసులు: t² − 15 లో b = 0; 4u² + 8u లో c = 0. ఆ పదం లేదంటే దాని గుణకం సున్నా.

మిగతా అధ్యాయాల జవాబులు AP 10th Class Maths Solutions హబ్‌లో ఉన్నాయి. ఇంతకు ముందు అధ్యాయం AP 10th Class Maths Real Numbers Solutions లో ఉంది. Real Numbers, Polynomials కలిపి స్లిప్ టెస్ట్ కోసం Real Numbers & Polynomials Slip Test చూడండి; సూత్రాలన్నీ ఒకే చోట 10th Class Maths Formulas in Telugu PDF లో.

తర్వాతి అధ్యాయం AP 10th Class Maths Pair of Linear Equations Solutions లో గ్రాఫ్ పద్ధతి, ప్రతిక్షేపణ, తొలగించు పద్ధతుల లెక్కలు ఉన్నాయి.

FAQs

Polynomials అధ్యాయంలో ఎన్ని ఎక్సర్‌సైజ్‌లు ఉన్నాయి?

AP SCERT Semester 1 పుస్తకంలో రెండు: Exercise 2.1 (1 ప్రశ్న, 6 గ్రాఫ్‌లు), 2.2 (2 ప్రశ్నలు, 12 భాగాలు). మొత్తం 18 లెక్కల జవాబులు ఈ పేజీలో ఉన్నాయి.

Polynomials SA1 లో వస్తుందా?

అవును. 10వ తరగతి SA1 గణితం సిలబస్‌లో Polynomials ఉంది.

బహుపది శూన్యం అంటే ఏమిటి?

p(k) = 0 అయ్యే సంఖ్య k ని p(x) శూన్యం అంటారు. ఉదాహరణ: x² − 2x − 8 కి 4, −2 శూన్యాలు.

గ్రాఫ్ నుంచి శూన్యాల సంఖ్య ఎలా చెప్పాలి?

y = p(x) గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని ఎన్ని బిందువుల దగ్గర ఖండిస్తుందో లేదా తాకుతుందో లెక్కించండి. అదే శూన్యాల సంఖ్య.

Exercise 2.1 జవాబులు ఏమిటి?

(i) శూన్యాలు లేవు (ii) 1 (iii) 3 (iv) 2 (v) 4 (vi) 3.

శూన్యాల మొత్తం, లబ్ధం సూత్రాలు ఏమిటి?

ax² + bx + c కి α + β = −b/a, αβ = c/a.

6x² − 3 − 7x శూన్యాలు ఏమిటి?

3/2, −1/3. ముందు 6x² − 7x − 3 గా రాసి (2x − 3)(3x + 1) అని విడగొట్టాలి.

4s² − 4s + 1 కి రెండు శూన్యాలా?

అవును, రెండూ 1/2. (2s − 1)² కాబట్టి ఒకే శూన్యం రెండుసార్లు వస్తుంది.

మొత్తం √2, లబ్ధం 1/3 అయితే బహుపది ఏది?

3x² − 3√2 x + 1. x² − √2 x + 1/3 ను 3 తో గుణించాం.

మొత్తం 0, లబ్ధం √5 అయితే బహుపది ఏది?

x² + √5. మొత్తం సున్నా కాబట్టి x పదం ఉండదు.

ఒకే జవాబు కాకుండా వేరే బహుపది రాస్తే తప్పా?

కాదు. x² − kx + m ని ఏ సున్నా కాని స్థిరాంకంతో గుణించినా అదే శూన్యాలు వస్తాయి. పుస్తకం పూర్ణసంఖ్య గుణకాలతో రాసింది.

మూలం: AP SCERT 10వ తరగతి గణితం పాఠ్యపుస్తకం (Semester 1, అధ్యాయం 2, ANSWERS/HINTS). అధికారిక పాఠ్యపుస్తకాలు, పాఠశాల విద్యాశాఖ సమాచారం కోసం Commissionerate of School Education, Andhra Pradesh సైట్ చూడండి.