AP 10th Class Maths Real Numbers Solutions Exercise 1.1, 1.2

AP 10th Class Maths Real Numbers Solutions – Exercise 1.1, 1.2

by
WhatsApp Channel Join Now
Telegram Channel Join Now

AP 10th Class Maths Real Numbers Solutions — అధ్యాయం 1 (వాస్తవ సంఖ్యలు) లోని Exercise 1.1, 1.2 లోని మొత్తం 10 ప్రశ్నలకు దశలవారీ జవాబులు. ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం, గసాభా (HCF), కసాగు (LCM), HCF × LCM సంబంధం, √5 లాంటి సంఖ్యలు కరణీయం అని నిరూపించడం — ప్రతిదీ పరీక్షలో రాసే విధంగా రాశాం. ప్రశ్నలు AP SCERT పుస్తకంలో ఉన్నట్టే ఇంగ్లీష్‌లో, వివరణ తెలుగులో.

Real Numbers తర్వాత మిగతా SA1 గణితం అధ్యాయాల జవాబులు రాగానే లింక్ రావాలంటే WhatsApp గ్రూప్‌లో చేరండి

ఈ పేజీలో: అధ్యాయంలో ఏముంది | ముఖ్య సిద్ధాంతాలు, సూత్రాలు | Exercise 1.1 | Exercise 1.2 | మార్కులు పోయే చోట్లు | FAQs

AP 10th Class Maths Real Numbers Solutions — ఈ అధ్యాయంలో ఏముంది

ఎక్సర్‌సైజ్అంశంప్రశ్నలు
Exercise 1.1అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం, ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం, HCF, LCM7
Exercise 1.2కరణీయ సంఖ్యలు (irrational numbers) అని నిరూపించడం3

SA1 కి ఎందుకు ముఖ్యం: Real Numbers 10వ తరగతి SA1 గణితం సిలబస్‌లో మొదటి అధ్యాయం (AP SA1 Syllabus 2026-27 చూడండి). ప్రశ్నలు తక్కువ, పద్ధతి స్థిరం; అందుకే బాగా సాధన చేస్తే పూర్తి మార్కులు తెచ్చుకోవడానికి వీలున్న అధ్యాయం. ఇక్కడి 10 ప్రశ్నల పాఠం AP SCERT 10వ తరగతి గణితం Semester 1 పాఠ్యపుస్తకం నుంచే తీసుకున్నాం; సంఖ్యా జవాబులను పుస్తకం చివరి ANSWERS పేజీతో సరిచూశాం.

Real Numbers ముఖ్య సిద్ధాంతాలు, సూత్రాలు

  1. అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం (Theorem 1.1): ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయవచ్చు; కారణాంకాల వరుస తప్ప ఈ విభజన ఏకైకం.
  2. HCF: ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం. ఉదాహరణ: 6 = 2 × 3, 20 = 22 × 5 అయితే HCF = 2.
  3. LCM: ప్రతి ప్రధాన కారణాంకం గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం. పై ఉదాహరణలో LCM = 22 × 3 × 5 = 60.
  4. HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b: రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే. మూడు సంఖ్యలకు ఇది వర్తించదు (పుస్తకం Example 4: 6, 72, 120).
  5. p ప్రధాన సంఖ్య, p, a2 ని భాగిస్తే p, a ని కూడా భాగిస్తుంది. కరణీయ నిరూపణలన్నీ దీని మీదే ఆధారపడతాయి.
  6. అకరణీయ + కరణీయం, అకరణీయ (సున్నా కాని) × కరణీయం రెండూ కరణీయమే. Exercise 1.2 ప్రశ్న 2, 3 ఈ ఆలోచనతోనే.

AP 10th Class Maths Real Numbers Solutions - prime factorisation, HCF and LCM rule, and irrational number proof steps for exercise 1.1, 1.2

ప్రధాన కారణాంకాల నిచ్చెన, HCF/LCM నియమం, 0 తో ముగిసే నియమం, కరణీయ నిరూపణ 4 దశలు — ఒకే చిత్రంలో. పరీక్ష ముందు రోజు చూసుకోవడానికి సేవ్ చేసుకోండి.

AP 10th Class Maths Real Numbers Exercise 1.1 Solutions (Fundamental Theorem of Arithmetic)

ప్రశ్న 1 నుంచి 4 వరకు లెక్కలు, 5, 6 కారణాలతో రాసే ప్రశ్నలు, 7 మాటల లెక్క. ప్రతి జవాబులో ముందు ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం రాసి, తర్వాత ఘాతాల రూపంలో రాయండి.

1. Express each number as a product of its prime factors:
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

జవాబు చూడండి
చిన్న ప్రధాన సంఖ్యల నుంచి మొదలుపెట్టి వరుసగా భాగించండి.
(i) 140 = 2 × 70 = 2 × 2 × 35 = 2 × 2 × 5 × 7 = 22 × 5 × 7
(ii) 156 = 2 × 78 = 2 × 2 × 39 = 2 × 2 × 3 × 13 = 22 × 3 × 13
(iii) 3825 = 3 × 1275 = 3 × 3 × 425 = 3 × 3 × 5 × 85 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 32 × 52 × 17
(iv) 5005 = 5 × 1001 = 5 × 7 × 143 = 5 × 7 × 11 × 13
(v) 7429 = 17 × 437 = 17 × 19 × 23 (2, 3, 5, …, 13 లతో భాగించబడదు; 17 తో మొదలవుతుంది)

2. Find the LCM and HCF of the following pairs of integers and verify that LCM × HCF = product of the two numbers.
(i) 26 and 91 (ii) 510 and 92 (iii) 336 and 54

జవాబు చూడండి
గసాభా (HCF) = ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం; కసాగు (LCM) = అన్ని ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం.
(i) 26 = 2 × 13, 91 = 7 × 13. HCF = 13, LCM = 2 × 7 × 13 = 182. సరిచూడటం: 182 × 13 = 2366 = 26 × 91
(ii) 510 = 2 × 3 × 5 × 17, 92 = 22 × 23. HCF = 2, LCM = 22 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460. సరిచూడటం: 23460 × 2 = 46920 = 510 × 92
(iii) 336 = 24 × 3 × 7, 54 = 2 × 33. HCF = 2 × 3 = 6, LCM = 24 × 33 × 7 = 3024. సరిచూడటం: 3024 × 6 = 18144 = 336 × 54

3. Find the LCM and HCF of the following integers by applying the prime factorisation method.
(i) 12, 15 and 21 (ii) 17, 23 and 29 (iii) 8, 9 and 25

జవాబు చూడండి
(i) 12 = 22 × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7. HCF = 3, LCM = 22 × 3 × 5 × 7 = 420
(ii) 17, 23, 29 మూడూ ప్రధాన సంఖ్యలు. HCF = 1, LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
(iii) 8 = 23, 9 = 32, 25 = 52. ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు. HCF = 1, LCM = 23 × 32 × 52 = 1800

4. Given that HCF (306, 657) = 9, find LCM (306, 657).

జవాబు చూడండి
రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే HCF × LCM = సంఖ్యల లబ్ధం.
LCM = (306 × 657)/9 = 201042/9 = 22338

5. Check whether 6n can end with the digit 0 for any natural number n.

జవాబు చూడండి
ఒక సంఖ్య 0 తో ముగియాలంటే అది 10 తో భాగించబడాలి, అంటే దాని ప్రధాన కారణాంకాల్లో 2, 5 రెండూ ఉండాలి.
6n = (2 × 3)n = 2n × 3n. ఇందులో 5 లేదు.
అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ప్రకారం ప్రధాన కారణాంకాల విభజన ఏకైకం, కాబట్టి 5 రావడం సాధ్యం కాదు. 6n ఏ సహజ సంఖ్య n కీ 0 తో ముగియదు

6. Explain why 7 × 11 × 13 + 13 and 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 are composite numbers.

జవాబు చూడండి
7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × 78 = 1014. 1, 1014 కాకుండా 13 కూడా కారణాంకం, కాబట్టి సంయుక్త సంఖ్య
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1) = 5 × 1009 = 5045. 5 కూడా కారణాంకం, కాబట్టి సంయుక్త సంఖ్య

7. There is a circular path around a sports field. Sonia takes 18 minutes to drive one round of the field, while Ravi takes 12 minutes for the same. Suppose they both start at the same point and at the same time, and go in the same direction. After how many minutes will they meet again at the starting point?

జవాబు చూడండి
ఇద్దరూ మళ్ళీ ప్రారంభ బిందువు దగ్గర కలిసే సమయం = 18, 12 ల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (LCM).
18 = 2 × 32, 12 = 22 × 3. LCM = 22 × 32 = 36
36 నిమిషాల తర్వాత కలుస్తారు

AP 10th Class Maths Real Numbers Exercise 1.2 Solutions (Irrational Numbers)

మూడు ప్రశ్నలూ విరుద్ధత (contradiction) పద్ధతిలోనే. “అకరణీయం అనుకుందాం” అని మొదలుపెట్టి, ఊహకు విరుద్ధం అని ముగించాలి.

1. Prove that √5 is irrational.

జవాబు చూడండి
విరుద్ధత (contradiction) పద్ధతి. √5 అకరణీయం అయితే √5 = a/b అనుకుందాం (a, b పూర్ణసంఖ్యలు, b ≠ 0, a, b లకు 1 తప్ప ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు).
అప్పుడు √5 b = a. వర్గం చేస్తే 5b2 = a2. కాబట్టి 5, a2 ని భాగిస్తుంది. పాఠంలోని సిద్ధాంతం ప్రకారం (p ప్రధాన సంఖ్య, p, a2 ని భాగిస్తే p, a ని కూడా భాగిస్తుంది) 5, a ని కూడా భాగిస్తుంది.
a = 5c అని రాస్తే 5b2 = 25c2, అంటే b2 = 5c2. కాబట్టి 5, b ని కూడా భాగిస్తుంది.
a, b రెండింటికీ 5 ఉమ్మడి కారణాంకం; ఇది మన ఊహకు విరుద్ధం. కాబట్టి √5 కరణీయ సంఖ్య (irrational)

2. Prove that 3 + 2√5 is irrational.

జవాబు చూడండి
విరుద్ధత పద్ధతి. 3 + 2√5 అకరణీయం అయితే 3 + 2√5 = a/b అనుకుందాం (a, b పూర్ణసంఖ్యలు, b ≠ 0, a, b లకు 1 తప్ప ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు).
అప్పుడు 2√5 = a/b − 3, అంటే √5 = (a − 3b)/(2b).
a, b పూర్ణసంఖ్యలు కాబట్టి (a − 3b)/(2b) అకరణీయం, అందువల్ల √5 కూడా అకరణీయం అవ్వాలి.
కానీ √5 కరణీయం (ప్రశ్న 1). ఈ విరుద్ధత వల్ల 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య

3. Prove that the following are irrationals :
(i) 1/√2 (ii) 7√5 (iii) 6 + √2

జవాబు చూడండి
మూడింటికీ ఒకే దారి: అకరణీయం అనుకుని, √2 లేదా √5 ను అకరణీయంగా రాసి విరుద్ధత చూపాలి. √2, √5 కరణీయాలు అని పుస్తకంలో నిరూపించారు.
(i) 1/√2 = a/b అయితే √2 = b/a, ఇది అకరణీయం. విరుద్ధం. కాబట్టి 1/√2 కరణీయం
(ii) 7√5 = a/b అయితే √5 = a/(7b), ఇది అకరణీయం. విరుద్ధం. కాబట్టి 7√5 కరణీయం
(iii) 6 + √2 = a/b అయితే √2 = (a − 6b)/b, ఇది అకరణీయం. విరుద్ధం. కాబట్టి 6 + √2 కరణీయం

Real Numbers లో మార్కులు ఎక్కడ పోతాయి

  1. మధ్యలో ఆపేయడం: 3825 = 3 × 3 × 425 అని ఆపితే తప్పు; 425 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. చివరి కారణాంకం వరకూ అన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలే కావాలి.
  2. HCF, LCM ఘాతాలు తారుమారు: HCF కి కనిష్ఠ ఘాతం, LCM కి గరిష్ఠ ఘాతం. 336, 54 లో HCF = 2 × 3 = 6, LCM = 24 × 33 × 7 = 3024.
  3. మూడు సంఖ్యలకు HCF × LCM = లబ్ధం వాడటం: ఇది రెండు సంఖ్యలకే. Exercise 1.1 ప్రశ్న 3 లో ప్రతి సంఖ్యనూ విడిగా విభజించండి.
  4. “a, b లకు ఉమ్మడి కారణాంకం లేదు” అని రాయకపోవడం: కరణీయ నిరూపణలో విరుద్ధత దీని నుంచే వస్తుంది. ఈ వాక్యం లేకపోతే నిరూపణ అసంపూర్ణం.
  5. కారణం లేకుండా “అకరణీయం” అనడం: 1.2 ప్రశ్న 2 లో (a − 3b)/(2b) అకరణీయం ఎందుకంటే a, b పూర్ణసంఖ్యలు అని తప్పక రాయండి.

మిగతా అధ్యాయాల జవాబులు AP 10th Class Maths Solutions హబ్‌లో ఉన్నాయి. ఈ అధ్యాయం పాఠం తెలుగులో AP 10th Class Maths Notes Real Numbers లో, సూత్రాలన్నీ 10th Class Maths Formulas in Telugu PDF లో ఉన్నాయి. Real Numbers, Polynomials కలిపి స్లిప్ టెస్ట్ కోసం Real Numbers & Polynomials Slip Test చూడండి.

తర్వాత ఏం చదవాలి

  1. AP 10th Class SA1 Maths Question Paper 2026-27 — అన్ని SA1 అధ్యాయాలతో నమూనా పేపర్
  2. AP 10th Class Maths Triangles Solutions — SA1 లోని మరో అధ్యాయం, 29 ప్రశ్నలు
  3. 10th Class Maths Important Questions with Answers — పరీక్షకు ముందు చివరి రివిజన్ కోసం

FAQs

Real Numbers అధ్యాయంలో ఎన్ని ఎక్సర్‌సైజ్‌లు, ఎన్ని ప్రశ్నలు?

AP SCERT Semester 1 పుస్తకంలో రెండు: Exercise 1.1 (7), 1.2 (3). మొత్తం 10 ప్రశ్నలు, అన్నింటి జవాబులు ఈ పేజీలో ఉన్నాయి.

Real Numbers SA1 లో వస్తుందా?

అవును. 10వ తరగతి SA1 గణితం సిలబస్‌లో Real Numbers ఉంది.

అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం అంటే ఏమిటి?

ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయవచ్చు, కారణాంకాల వరుస తప్ప ఆ విభజన ఏకైకం. ఉదాహరణ: 140 = 22 × 5 × 7.

మూడు సంఖ్యలకు HCF × LCM = సంఖ్యల లబ్ధం అవుతుందా?

కాదు. ఇది రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే. పుస్తకం Example 4 లో 6, 72, 120 కి HCF = 6, LCM = 360; 6 × 360, 6 × 72 × 120 కి సమానం కాదు.

1.1 ప్రశ్న 4 లో LCM (306, 657) ఎంత?

22338. LCM = (306 × 657)/9.

1.1 ప్రశ్న 7 (సోనియా, రవి) జవాబు ఏమిటి?

36 నిమిషాలు. 18, 12 ల LCM = 36.

6n ఎప్పుడైనా 0 తో ముగుస్తుందా?

ముగియదు. 6n = 2n × 3n; 0 తో ముగియాలంటే ప్రధాన కారణాంకాల్లో 5 ఉండాలి, ఇక్కడ లేదు.

7 × 11 × 13 + 13 సంయుక్త సంఖ్య ఎందుకు?

13 ను ఉమ్మడిగా తీస్తే 13 × 78 = 1014. 1, 1014 కాకుండా 13 కూడా కారణాంకం కాబట్టి సంయుక్త సంఖ్య.

7429 ప్రధాన కారణాంకాలు ఏమిటి?

17 × 19 × 23. 2 నుంచి 13 వరకు ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోనూ భాగించబడదు; 17 తో మొదలవుతుంది.

కరణీయ, అకరణీయ సంఖ్యలు అంటే?

p/q (p, q పూర్ణసంఖ్యలు, q ≠ 0) రూపంలో రాయగలిగేవి అకరణీయ (rational) సంఖ్యలు; రాయలేనివి కరణీయ (irrational) సంఖ్యలు. √2, √5 కరణీయాలు.

1/√2 కరణీయం అని ఎలా చూపాలి?

1/√2 = a/b అనుకుంటే √2 = b/a అకరణీయం అవుతుంది. కానీ √2 కరణీయం; ఈ విరుద్ధత వల్ల 1/√2 కరణీయం.

మూలం: AP SCERT 10వ తరగతి గణితం పాఠ్యపుస్తకం (Semester 1, అధ్యాయం 1, ANSWERS/HINTS). అధికారిక పాఠ్యపుస్తకాలు, పాఠశాల విద్యాశాఖ సమాచారం కోసం Commissionerate of School Education, Andhra Pradesh సైట్ చూడండి.

పదో తరగతి అన్ని సబ్జెక్టుల జవాబులు, స్టడీ మెటీరియల్, ప్రశ్నపత్రాలు ఒకే చోట: AP Board Solutions Class 10. SA1 పరీక్షల (9 – 20 నవంబర్ 2026) సాధనకు AP SA1 2026-27; గణితం ఎక్సర్‌సైజ్ జవాబులకు AP 10th Class Maths Solutions; SSC కి AP SSC Model Papers 2027.