AP 10th Class Maths Chapter 2 – Polynomials Exercise 2.2 Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Exercise 2.1 లో గ్రాఫికల్‌గా zeroes అర్థం చేసుకున్నాం, ఇప్పుడు Exercise 2.2 లో algebraic గా (factorization ద్వారా) zeroes కనుక్కోవడం, మరియు zeroes కి, పాలినామియల్ యొక్క coefficients కి మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని verify చేయడం నేర్చుకుందాం.

Key Concept: Zeroes మరియు Coefficients మధ్య సంబంధం

ఒక quadratic polynomial ax² + bx + c యొక్క zeroes α, β అయితే:

Sum of zeroes: α + β = −b/a = −(Coefficient of x) / (Coefficient of x²)
Product of zeroes: α × β = c/a = (Constant term) / (Coefficient of x²)

ఈ రెండు సూత్రాలు ఈ Exercise మొత్తానికి పునాది.

Question 1.

Find the zeroes of the following quadratic polynomials and verify the relationship between the zeroes and the coefficients.

i) x² − 2x − 8

x² − 2x − 8 = x² − 4x + 2x − 8
= x(x − 4) + 2(x − 4)
= (x + 2)(x − 4)

zeroes: x = −2, x = 4

Sum = −2 + 4 = 2 = −(−2)/1 ✓
Product = −2 × 4 = −8 = −8/1 ✓

ii) 4s² − 4s + 1

4s² − 4s + 1 = 4s² − 2s − 2s + 1
= 2s(2s − 1) − 1(2s − 1)
= (2s − 1)(2s − 1)

zeroes: s = 1/2, s = 1/2

Sum = 1/2 + 1/2 = 1 = −(−4)/4 ✓
Product = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 1/4 ✓

iii) 6x² − 7x − 3

6x² − 7x − 3 = 6x² − 9x + 2x − 3
= 3x(2x − 3) + 1(2x − 3)
= (3x + 1)(2x − 3)

zeroes: x = −1/3, x = 3/2

Sum = −1/3 + 3/2 = (−2 + 9)/6 = 7/6 = −(−7)/6 ✓
Product = (−1/3) × (3/2) = −1/2 = −3/6 ✓

iv) 4u² + 8u

4u² + 8u = 4u(u + 2)

zeroes: u = 0, u = −2

Sum = 0 + (−2) = −2 = −8/4 ✓
Product = 0 × (−2) = 0 = 0/4 ✓

v) t² − 15

t² − 15 = (t − √15)(t + √15)

zeroes: t = √15, t = −√15

Sum = √15 + (−√15) = 0 = −0/1 ✓
Product = √15 × (−√15) = −15 = −15/1 ✓

vi) 3x² − x − 4

3x² − x − 4 = 3x² − 4x + 3x − 4
= x(3x − 4) + 1(3x − 4)
= (x + 1)(3x − 4)

zeroes: x = −1, x = 4/3

Sum = −1 + 4/3 = 1/3 = −(−1)/3 ✓
Product = −1 × 4/3 = −4/3 = −4/3 ✓

Question 2.

Find a quadratic polynomial each with the given numbers as the sum and product of its zeroes respectively.

Formula: α + β మరియు αβ ఇచ్చినప్పుడు, quadratic polynomial = x² − (α + β)x + αβ

i) Sum = 1/4, Product = −1

x² − (1/4)x + (−1)

4 తో గుణిస్తే: 4x² − x − 4

ii) Sum = √2, Product = 1/3

x² − √2 x + 1/3

3 తో గుణిస్తే: 3x² − 3√2 x + 1

iii) Sum = 0, Product = √5

x² − 0·x + √5

= x² + √5

iv) Sum = 1, Product = 1

x² − x + 1

v) Sum = −1/4, Product = 1/4

x² − (−1/4)x + 1/4
= x² + (1/4)x + 1/4

4 తో గుణిస్తే: 4x² + x + 1

vi) Sum = 4, Product = 1

x² − 4x + 1

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

Factorization చేసేటప్పుడు, middle term ని రెండు భాగాలుగా split చేయండి, వాటి లబ్ధం = (coefficient of x²) × (constant term) కి సమానంగా ఉండాలి
Sum/Product verify చేయడం మర్చిపోకండి — ఇది board exam లో compulsory స్టెప్, దీన్ని వదిలేస్తే మార్కులు poతాయి
Question 2 లో, x² − (sum)x + product ఫార్ములా గుర్తుపెట్టుకుంటే, ఏ polynomial నైనా నేరుగా రాయగలరు
Fractional coefficients వచ్చినప్పుడు, చివర్లో LCM తో గుణించి, పాలినామియల్‌ని integer coefficients తో రాయడం మంచి practice

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Exercise 2.2 లో ప్రధాన అంశం ఏమిటి?
Quadratic polynomials యొక్క zeroes ని factorization ద్వారా కనుక్కోవడం, మరియు zeroes-coefficients సంబంధాన్ని verify చేయడం.

2. Sum of zeroes, Product of zeroes ఫార్ములాలు ఏమిటి?
Sum = −b/a, Product = c/a (ఇక్కడ a,b,c లు ax²+bx+c లో coefficients).

3. Zeroes ఇచ్చినప్పుడు, quadratic polynomial ఎలా రాయాలి?
x² − (Sum of zeroes)x + (Product of zeroes) అనే ఫార్ములా వాడాలి.

4. ఈ verify చేయడం ఎందుకు ముఖ్యం?
ఇది మీ factorization సరైనదో కాదో డబుల్-చెక్ చేయడానికి సహాయపడుతుంది, మరియు ఇది board exam లో ఒక ముఖ్యమైన స్టెప్‌గా మార్కులు కేటాయించబడుతుంది.