AP 10th Class Maths Chapter 3 – Pair of Linear Equations Exercise 3.3 Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Exercise 3.3 లో Elimination Method నేర్చుకుందాం — ఇది రెండు సమీకరణాల్లో ఒక variable యొక్క coefficients ని సమానంగా చేసి, వాటిని కలిపి/తీసివేసి ఆ variable ని “eliminate” చేసే పద్ధతి.

Question 1.

Solve by elimination method (and verify with substitution method):

i) x + y = 5, 2x − 3y = 4

(1) ని 3 తో గుణిస్తే: 3x + 3y = 15 … (3) (3) + (2): 3x + 3y + 2x − 3y = 15 + 4 → 5x = 19 → x = 19/5 y = 5 − 19/5 = 6/5 → y = 6/5

Check: 2(19/5) − 3(6/5) = 38/5 − 18/5 = 20/5 = 4 ✓

ii) 3x + 4y = 10, 2x − 2y = 2

(2) ని 2 తో గుణిస్తే: 4x − 4y = 4 … (3) (1) + (3): 3x + 4y + 4x − 4y = 10 + 4 → 7x = 14 → x = 2 3(2) + 4y = 10 → 4y = 4 → y = 1

Check: 2(2) − 2(1) = 4 − 2 = 2 ✓

iii) 3x − 5y − 4 = 0, 9x = 2y + 7

3x − 5y = 4 … (1) 9x − 2y = 7 … (2)

(1) ని 3 తో గుణిస్తే: 9x − 15y = 12 … (3) (3) − (2): 9x − 15y − 9x + 2y = 12 − 7 → −13y = 5 → y = −5/13

3x − 5(−5/13) = 4 → 3x + 25/13 = 4 → 3x = 52/13 − 25/13 = 27/13 → x = 9/13

Check: 9(9/13) − 2(−5/13) = 81/13 + 10/13 = 91/13 = 7 ✓

iv) x/2 + 2y/3 = −1, x − y/3 = 3

(1) ని 6 తో గుణిస్తే: 3x + 4y = −6 … (3) (2) ని 3 తో గుణిస్తే: 3x − y = 9 … (4)

(3) − (4): 3x + 4y − 3x + y = −6 − 9 → 5y = −15 → y = −3

3x − (−3) = 9 → 3x = 6 → x = 2

Check: 3(2) − 4(3) = 6 − 12 = −6… let’s verify with original: x/2+2y/3 = 2/2+2(-3)/3 = 1-2 = -1 ✓

Question 2.

Form the pair of linear equations and solve by elimination method.

i) న్యూమరేటర్‌కి 1 కలిపి, డినామినేటర్ నుండి 1 తీసివేస్తే భిన్నం 1 అవుతుంది; డినామినేటర్‌కి 1 కలిపితే 1/2 అవుతుంది

x/y భిన్నం అనుకుందాం. (x+1)/(y−1) = 1 → x − y = −2 … (1) x/(y+1) = 1/2 → 2x − y = 1 … (2)

(2) − (1): 2x − y − x + y = 1 − (−2) → x = 3 3 − y = −2 → y = 5

భిన్నం = 3/5

ii) 5 సంవత్సరాల క్రితం Nuri వయసు Sonu కి 3 రెట్లు; 10 సంవత్సరాల తర్వాత Nuri వయసు Sonu కి 2 రెట్లు

x = Nuri వయసు, y = Sonu వయసు అనుకుందాం. x − 5 = 3(y − 5) → x = 3y − 10 … (1) x + 10 = 2(y + 10) → x − 2y = 10 … (2)

(1) ని (2) లో పెడితే: 3y − 10 − 2y = 10 → y = 20 x = 3(20) − 10 = 50

Nuri వయసు = 50 సంవత్సరాలు, Sonu వయసు = 20 సంవత్సరాలు

iii) రెండంకెల సంఖ్య, అంకెల మొత్తం 9; సంఖ్య×9 = రివర్స్ సంఖ్య×2

Tens digit = x, Units digit = y అనుకుందాం. x + y = 9 … (1) సంఖ్య = 10x + y, రివర్స్ సంఖ్య = 10y + x 9(10x + y) = 2(10y + x) 90x + 9y = 20y + 2x 88x = 11y → 8x = y … (2)

(1) + (2): x + 8x = 9 → x = 1, y = 8

సంఖ్య = 10(1) + 8 = 18

iv) Meena ₹2000 విత్‌డ్రా చేసింది, ₹50 మరియు ₹100 నోట్లు మొత్తం 25

x = ₹50 నోట్ల సంఖ్య, y = ₹100 నోట్ల సంఖ్య అనుకుందాం. x + y = 25 … (1) 50x + 100y = 2000 → x + 2y = 40 … (2)

(2) − (1): y = 15 x = 25 − 15 = 10

₹50 నోట్లు = 10, ₹100 నోట్లు = 15

v) Library: మొదటి 3 రోజులకు fixed charge, తర్వాత ప్రతి రోజుకి extra charge; Saritha 7 రోజులకు ₹27, Susy 5 రోజులకు ₹21 చెల్లించారు

x = fixed charge (మొదటి 3 రోజులకు), y = ప్రతి extra రోజుకి charge అనుకుందాం.

Saritha: x + 4y = 27 … (1) (7−3=4 extra days) Susy: x + 2y = 21 … (2) (5−3=2 extra days)

(1) − (2): 2y = 6 → y = 3 x + 4(3) = 27 → x = 15

Fixed Charge = ₹15, ప్రతి Extra రోజుకి Charge = ₹3

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

Elimination Method లో, ఏ variable ని eliminate చేయాలనుకుంటున్నారో దాని coefficients ని LCM ఉపయోగించి సమానం చేయండి
Coefficients signs ఒకేలా ఉంటే తీసివేయండి (subtract), వ్యతిరేకంగా ఉంటే కలపండి (add)
Word problems లో “extra days”, “5 years ago”, “10 years later” లాంటి పదాలను జాగ్రత్తగా గమనించి సమీకరణాలు రాయాలి
ప్రతి సమాధానాన్ని అసలు సమీకరణంలో పెట్టి verify చేయడం మర్చిపోకండి

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Elimination Method, Substitution Method కంటే ఎప్పుడు మంచిది? Coefficients సులభంగా సమానం చేయగలిగినప్పుడు (LCM తక్కువగా ఉన్నప్పుడు) Elimination Method వేగంగా ఉంటుంది.

2. Word problem లో variables ఎలా ఎంచుకోవాలి? ప్రశ్నలో ఏమి కనుక్కోమని అడిగారో వాటినే x, y గా తీసుకోవాలి — ఇది సమీకరణాలు రాయడం సులభతరం చేస్తుంది.

3. Library problem లో “4 extra days” ఎలా వచ్చింది? Saritha 7 రోజులు ఉంచుకుంది, మొదటి 3 రోజులు fixed charge లో వస్తాయి, మిగతా 7−3=4 రోజులు మాత్రమే extra charge కి లెక్కించాలి.