AP 10th Class Maths Chapter 4 – Quadratic Equations Exercise 4.3 Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Exercise 4.3 లో Discriminant (D = b² − 4ac) ఉపయోగించి, ఒక quadratic equation యొక్క roots real గా ఉన్నాయో లేదో, ఉంటే equal గా ఉన్నాయో distinct గా ఉన్నాయో నిర్ధారించడం నేర్చుకుందాం.

Key Concept: Discriminant మరియు Nature of Roots

ax² + bx + c = 0 కి, Discriminant D = b² − 4ac అనుకుంటే:

Discriminant (D)	Roots యొక్క స్వభావం
D > 0	Real మరియు Distinct (వేర్వేరు) roots
D = 0	Real మరియు Equal roots
D < 0	Real roots ఉండవు (Not Real / Imaginary)

Question 1.

Find the nature of the roots of the following quadratic equations. If the real roots exist, find them:

i) 2x² − 3x + 5 = 0

a = 2, b = −3, c = 5
D = b² − 4ac = (−3)² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31

D < 0, కాబట్టి roots real కావు.

ii) 3x² − 4√3x + 4 = 0

a = 3, b = −4√3, c = 4
D = b² − 4ac = (4√3)² − 4(3)(4) = 48 − 48 = 0

D = 0, కాబట్టి roots real మరియు equal.

Root విలువ: x = −b/2a = 4√3/6 = 2√3/3 (రెండు roots ఇదే విలువ)

iii) 2x² − 6x + 3 = 0

a = 2, b = −6, c = 3
D = b² − 4ac = (−6)² − 4(2)(3) = 36 − 24 = 12

D > 0, కాబట్టి roots real మరియు distinct.

x = [−b ± √D] / 2a = [6 ± √12] / 4 = [6 ± 2√3] / 4 = (3 ± √3)/2

రెండు roots: x = (3+√3)/2 మరియు x = (3−√3)/2

Question 2.

Find the values of k for each of the following quadratic equations, so that they have two equal roots.

i) 2x² + kx + 3 = 0

Equal roots కావాలంటే D = 0
k² − 4(2)(3) = 0
k² − 24 = 0
k² = 24

k = ±√24 = ±2√6

ii) kx(x − 2) + 6 = 0

దీన్ని విస్తరిస్తే: kx² − 2kx + 6 = 0
a = k, b = −2k, c = 6

D = 0:
(−2k)² − 4(k)(6) = 0
4k² − 24k = 0
4k(k − 6) = 0

k = 0 లేదా k = 6

k = 0 అయితే సమీకరణం quadratic గా ఉండదు (a=0 అవుతుంది), కాబట్టి తిరస్కరించాలి.

∴ k = 6 మాత్రమే.

Question 3.

Is it possible to design a rectangular mango grove whose length is twice its breadth and the area is 800 m²? If so, find its length and breadth.

Solution:

వెడల్పు = x m, పొడవు = 2x m అనుకుందాం.
వైశాల్యం = x × 2x = 800
2x² = 800
x² = 400
x = √400 = 20

ఇది ధనాత్మక, real విలువ కాబట్టి ఇది సాధ్యమే.

వెడల్పు = 20 m, పొడవు = 2 × 20 = 40 m

Question 4.

Is the following situation possible? Sum of ages of two friends = 20 years. Four years ago, product of their ages was 48.

Solution:

x, (20−x) అనుకుందాం (ప్రస్తుత వయసులు).
4 సంవత్సరాల క్రితం: (x−4), (16−x)

(x−4)(16−x) = 48
16x − x² − 64 + 4x = 48
−x² + 20x − 64 = 48
x² − 20x + 112 = 0

D = b² − 4ac = (−20)² − 4(1)(112) = 400 − 448 = −48

D < 0, కాబట్టి real roots లేవు — ఈ పరిస్థితి సాధ్యం కాదు.

Question 5.

Is it possible to design a rectangular park of perimeter 80 m and area 400 m²? If so, find its length and breadth.

Solution:

l + b = 40 (∵ perimeter = 2(l+b) = 80)
b = 40 − l

l × b = 400
l(40 − l) = 400
40l − l² = 400
l² − 40l + 400 = 0

D = (−40)² − 4(1)(400) = 1600 − 1600 = 0

D = 0, కాబట్టి real మరియు equal roots — ఇది సాధ్యమే.

l² − 40l + 400 = 0
(l − 20)² = 0
l = 20

పొడవు = 20 m, వెడల్పు = 40 − 20 = 20 m (ఇది వాస్తవానికి ఒక చతురస్రం అవుతుంది)

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

Discriminant సూత్రం (D = b²−4ac) గుర్తుంటే, roots calculate చేయకుండానే వాటి స్వభావం చెప్పగలరు
“Is it possible?” తరహా ప్రశ్నల్లో, D < 0 వస్తే ఆ పరిస్థితి సాధ్యం కాదని అర్థం — ఇది చాలా ముఖ్యమైన conceptual point
D = 0 వచ్చినప్పుడు, real-life problems లో ఇది తరచుగా ఒక చతురస్రం (square) వంటి special case ని సూచిస్తుంది (Q5 లో చూసినట్టు)
k విలువలు కనుక్కునే ప్రశ్నల్లో, D=0 సమీకరణాన్ని ఏర్పరచి సాధించడం ప్రధాన పద్ధతి

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Discriminant అంటే ఏమిటి?
D = b² − 4ac, ఇది ఒక quadratic equation యొక్క roots స్వభావాన్ని (real/not real, equal/distinct) నిర్ధారించడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

2. D < 0 అయితే root విలువలు కనుక్కోగలమా?
లేదు, real numbers లో కనుక్కోలేము. ఇలాంటప్పుడు “roots real కావు” అని మాత్రమే చెప్పాలి.

3. “Is it possible?” తరహా ప్రశ్నలను ఎలా సాధించాలి?
ఇచ్చిన సమాచారంతో ఒక quadratic equation ఏర్పరచి, దాని Discriminant కనుక్కోవాలి. D ≥ 0 అయితే సాధ్యం, D < 0 అయితే సాధ్యం కాదు.