AP 10th Class Maths Chapter 3 – Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.1 Solutions

Key Concept: a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ Ratio Test

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

రెండు linear equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 ఇచ్చినప్పుడు, వాటి పరస్పర సంబంధాన్ని ఈ మూడు నిష్పత్తుల ద్వారా తెలుసుకోవచ్చు:

షరతు	రేఖల రకం	సొల్యూషన్స్	Consistent/Inconsistent
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	Intersecting	Unique Solution	Consistent
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	Parallel	No Solution	Inconsistent
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	Coincident	Infinite Solutions	Consistent

Question 1.

Form the pair of linear equations in the following problems, and find their solutions graphically.

i) 10 students… girls 4 more than boys

Let boys = x, girls = y
x + y = 10 … (1)
y = x + 4 … (2)

(2) ని (1) లో పెడితే: x + (x+4) = 10 → 2x = 6 → x = 3, y = 7

Table of values కోసం: Eq(1): x=0→y=10; x=10→y=0. Eq(2): x=0→y=4; x=3→y=7.

రెండు రేఖలు P(3, 7) వద్ద కలుస్తాయి. కాబట్టి x = 3, y = 7 (boys=3, girls=7).

ii) 5 pencils + 7 pens = ₹50; 7 pencils + 5 pens = ₹46

Let pencil cost = x, pen cost = y
5x + 7y = 50 … (1)
7x + 5y = 46 … (2)

(1)×5: 25x+35y=250; (2)×7: 49x+35y=322
తీసివేస్తే: 24x = 72 → x = 3
y = (50−15)/7 = 5

రేఖలు (3, 5) వద్ద కలుస్తాయి. కాబట్టి pencil = ₹3, pen = ₹5.

Question 2.

On comparing the ratios a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂, find out whether the lines intersect, are parallel or coincident.

i) 5x − 4y + 8 = 0, 7x + 6y − 9 = 0

a₁=5, b₁=−4, c₁=8; a₂=7, b₂=6, c₂=−9
a₁/a₂ = 5/7, b₁/b₂ = −4/6 = −2/3

5/7 ≠ −2/3, కాబట్టి Intersecting lines — Consistent (Unique Solution)

ii) 9x + 3y + 12 = 0, 18x + 6y + 24 = 0

a₁=9, b₁=3, c₁=12; a₂=18, b₂=6, c₂=24
a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 1/2, c₁/c₂ = 1/2

అన్నీ సమానం, కాబట్టి Coincident lines — Consistent (Infinite Solutions)

iii) 6x − 3y + 10 = 0, 2x − y + 9 = 0

a₁=6, b₁=−3, c₁=10; a₂=2, b₂=−1, c₂=9
a₁/a₂ = 3, b₁/b₂ = 3, c₁/c₂ = 10/9

a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, కాబట్టి Parallel lines — Inconsistent (No Solution)

Question 3.

Are the following pairs of linear equations consistent or inconsistent?

i) 3x + 2y = 5, 2x − 3y = 7

a₁=3, b₁=2, c₁=−5; a₂=2, b₂=−3, c₂=−7
a₁/a₂ = 3/2, b₁/b₂ = −2/3

3/2 ≠ −2/3, కాబట్టి Intersecting — Consistent (Unique Solution)

ii) 2x − 3y = 8, 4x − 6y = 9

a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = −3/−6 = 1/2, c₁/c₂ = −8/−9 = 8/9

1/2 = 1/2 ≠ 8/9, కాబట్టి Parallel — Inconsistent (No Solution)

iii) (3/2)x + (5/3)y = 7, 9x − 10y = 14

a₁/a₂ = (3/2)/9 = 1/6, b₁/b₂ = (5/3)/(−10) = −1/6

1/6 ≠ −1/6, కాబట్టి Intersecting — Consistent (Unique Solution)

iv) 5x − 3y = 11, −10x + 6y = −22

a₁/a₂ = 5/−10 = −1/2, b₁/b₂ = −3/6 = −1/2, c₁/c₂ = −11/−22 = 1/2

అన్నీ సమానం (−1/2 = −1/2 = 1/2 … గమనిక: సంకేతాలతో సహా అన్నీ సమానంగా వస్తాయి), కాబట్టి Coincident — Consistent (Infinite Solutions)

v) (4/3)x + 2y = 8, 2x + 3y = 12

a₁/a₂ = (4/3)/2 = 2/3, b₁/b₂ = 2/3, c₁/c₂ = −8/−12 = 2/3

అన్నీ సమానం (2/3 = 2/3 = 2/3), కాబట్టి Coincident — Consistent (Infinite Solutions)

Question 4.

Which pairs are consistent/inconsistent? If consistent, find solution graphically.

i) x + y = 5, 2x + 2y = 10

అన్ని నిష్పత్తులూ 1/2 కి సమానం → Coincident — Consistent (Infinite Solutions)

ii) x − y = 8, 3x − 3y = 16

a₁/a₂ = 1/3 = b₁/b₂, కానీ c₁/c₂ = 8/16 = 1/2 ≠ 1/3 → Parallel — Inconsistent (No Solution)

iii) 2x + y − 6 = 0, 4x − 2y − 4 = 0

a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 1/−2 = −1/2 → సమానం కాదు → Intersecting — Consistent

సాధించగా: 2x+y=6 → y=6−2x; 4x−2y=4 → y=2x−2
6−2x = 2x−2 → 8=4x → x=2, y=2

రేఖలు (2, 2) వద్ద కలుస్తాయి.

iv) 2x − 2y − 2 = 0, 4x − 4y − 5 = 0

a₁/a₂ = 2/4 = 1/2 = b₁/b₂, కానీ c₁/c₂ = 2/5 ≠ 1/2 → Parallel — Inconsistent (No Solution)

Question 5.

Half the perimeter of a rectangular garden, whose length is 4 m more than its width, is 36 m. Find the dimensions.

Solution:

Half perimeter = l + b = 36
l = b + 4

b + 4 + b = 36 → 2b = 32 → b = 16
l = 16 + 4 = 20

పొడవు (Length) = 20 m, వెడల్పు (Breadth) = 16 m

Question 6.

Given 2x + 3y − 8 = 0, write another linear equation such that the pair represents:

Solution:

ఇచ్చినది: a₁=2, b₁=3, c₁=−8

i) Intersecting lines (a₁/a₂ ≠ b₁/b₂):
ఉదాహరణ: 3x + 2y − 7 = 0 (2/3 ≠ 3/2)

ii) Parallel lines (a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂):
ఉదాహరణ: 4x + 6y − 5 = 0 (2/4=1/2=3/6, కానీ −8/−5 ≠ 1/2)

iii) Coincident lines (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂):
ఉదాహరణ: 4x + 6y − 16 = 0 (అసలు సమీకరణాన్ని 2 తో గుణించగా వచ్చినది)

Question 7.

Draw the graphs of x − y + 1 = 0 and 3x + 2y − 12 = 0. Find the triangle formed with the x-axis.

Solution:

x − y + 1 = 0 → y = x + 1
Table: x=−1→y=0; x=0→y=1; x=2→y=3

3x + 2y − 12 = 0 → y = (12−3x)/2
Table: x=0→y=6; x=4→y=0; x=2→y=3

రెండు రేఖలూ (2, 3) వద్ద కలుస్తాయి.

X-axis ని ఖండించే పాయింట్లు: మొదటి రేఖ x=−1 వద్ద (Point A: −1,0), రెండవ రేఖ x=4 వద్ద (Point B: 4,0).

త్రిభుజం Vertices: A(−1, 0), B(4, 0), C(2, 3)

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ ల ratio test గుర్తుంటే, గ్రాఫ్ గీయకుండానే consistent/inconsistent చెప్పవచ్చు
Coincident లైన్లు అంటే రెండు సమీకరణాలూ ఒకే రేఖ — ఒకదాన్ని స్థిరాంకంతో గుణిస్తే రెండోది వస్తుంది
Word problems లో, ముందు variables ని define చేసి, తర్వాత రెండు సమీకరణాలు ఏర్పరచడం ముఖ్యం
Graph గీసేటప్పుడు, ప్రతి రేఖకి కనీసం 2-3 points calculate చేసి table రూపంలో పెట్టుకోండి, అప్పుడే accurate గా గీయగలరు

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Consistent, Inconsistent అంటే ఏమిటి?
Consistent అంటే సమీకరణాలకు కనీసం ఒక సొల్యూషన్ ఉంటుంది (unique లేదా infinite). Inconsistent అంటే సొల్యూషనే ఉండదు (parallel lines).

2. Coincident lines కి ఎన్ని సొల్యూషన్స్ ఉంటాయి?
అనంతమైన (infinite) సొల్యూషన్స్ ఉంటాయి, ఎందుకంటే రెండు సమీకరణాలూ వాస్తవానికి ఒకే రేఖను సూచిస్తాయి.

3. గ్రాఫ్ గీయకుండా సొల్యూషన్ కనుక్కోగలమా?
Q2, Q3, Q4, Q6 లాంటి ప్రశ్నలకు కేవలం ratio test ద్వారానే సమాధానం చెప్పవచ్చు, గ్రాఫ్ అవసరం లేదు. కానీ Q1, Q7 లాంటి ప్రశ్నలు specifically గ్రాఫికల్ మెథడ్ అడుగుతాయి.