AP 10th Class Maths Chapter 5 – Arithmetic Progressions Exercise 5.2 Solutions

Question 1

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Fill in the blanks in the following table, given that a is the first term, d the common difference and a_n is the n^th term of the AP:

Question	a	d	n	a_n	Solution
(i)	7	3	8	28	a_n = a + (n − 1)d = 7 + (8 − 1)3 = 7 + 7 × 3 = 28
(ii)	−18	2	10	0	0 = −18 + (10 − 1)d 18 = 9d d = 18/9 = 2
(iii)	46	−3	18	−5	−5 = a + (18 − 1)(−3) −5 = a − 17 × 3 −5 = a − 51 a = −5 + 51 = 46
(iv)	−18.9	2.5	10	3.6	3.6 = −18.9 + (n − 1)(2.5) 3.6 + 18.9 = (n − 1)(2.5) 22.5 = (n − 1)(2.5) n − 1 = 22.5 ÷ 2.5 n − 1 = 9 n = 10
(v)	3.5	0	105	3.5	a_n = 3.5 + (105 − 1)(0) = 3.5 + 0 = 3.5

Filled table answers:

(i)	a = 7	d = 3	n = 8	aₙ = 28
(ii)	a = −18	d = 2	n = 10	aₙ = 0
(iii)	a = 46	d = −3	n = 18	aₙ = −5
(iv)	a = −18.9	d = 2.5	n = 10	aₙ = 3.6
(v)	a = 3.5	d = 0	n = 105	aₙ = 3.5

Key Concept: nth Term Formula

ఒక AP యొక్క nth term ని కనుక్కోవడానికి సూత్రం:

aₙ = a + (n − 1)d

ఇక్కడ a = మొదటి పదం, d = common difference, n = ఏ పదం కావాలో దాని స్థానం.

Question 2.

Choose the correct choice and justify.

i) AP: 10, 7, 4, … యొక్క 30th term ఎంత?

a=10, d=7−10=−3 a₃₀ = 10 + (30−1)(−3) = 10 − 87 = −77 (Option C)

ii) AP: −3, −1/2, 2, … యొక్క 11th term ఎంత?

a=−3, d=−1/2−(−3)=5/2 a₁₁ = −3 + (11−1)(5/2) = −3 + 25 = 22 (Option B)

Question 3.

Find the missing terms in the boxes.

i) 2, ___, 26

మధ్య పదం రెండు చివరల మధ్య average: (2+26)/2 = 14 AP: 2, 14, 26

ii) ___, 13, ___, 3 (4-పదాల AP, రెండో పదం 13, నాలుగో పదం 3)

a+d=13, a+3d=3 → తీసివేస్తే: 2d=−10 → d=−5 a = 13−(−5) = 18 AP: 18, 13, 8, 3

iii) 5, ___, ___, 9½

ఇది 4-పదాల AP: a₁=5, a₄=19/2 d = (a₄−a₁)/3 = (19/2 − 5)/3 = (9/2)/3 = 3/2 AP: 5, 13/2, 8, 19/2

iv) −4, ___, ___, ___, ___, 6

a₁=−4, a₆=6. d=(6−(−4))/5 = 10/5 = 2 AP: −4, −2, 0, 2, 4, 6

v) ___, 38, ___, ___, ___, −22

a+d=38 … (1) a+5d=−22 … (2) (2)−(1): 4d=−60 → d=−15 a = 38−(−15) = 53 AP: 53, 38, 23, 8, −7, −22

Question 4.

Which term of the AP 3, 8, 13, 18, … is 78?

a=3, d=5 3 + (n−1)5 = 78 → (n−1)5=75 → n−1=15 → n=16

16వ పదం 78.

Question 5.

Find the number of terms.

i) 7, 13, 19, …, 205

a=7, d=6, l=205 7+(n−1)6=205 → (n−1)=33 → n=34

ii) 18, 15½, 13, …, −47

a=18, d=15.5−18=−5/2, l=−47 18+(n−1)(−5/2)=−47 → (n−1)(−5/2)=−65 → n−1=26 → n=27

Question 6.

Check whether −150 is a term of the AP 11, 8, 5, 2, …

a=11, d=−3 11+(n−1)(−3)=−150 → (n−1)=161/3

n−1 = 161/3 అనేది పూర్ణ సంఖ్య (integer) కాదు.

∴ −150 ఈ AP లో పదం కాదు.

Question 7.

11th term = 38, 16th term = 73. Find 31st term.

a+10d=38 … (1) a+15d=73 … (2) (2)−(1): 5d=35 → d=7 a+70=38 → a=−32

a₃₁ = −32+30(7) = −32+210 = 178

Question 8.

AP has 50 terms, 3rd term=12, last term=106. Find 29th term.

a+2d=12 … (1) a+49d=106 … (2) (2)−(1): 47d=94 → d=2 a+4=12 → a=8

a₂₉ = 8+28(2) = 8+56 = 64

Question 9.

3rd term=4, 9th term=−8. Which term is zero?

a+2d=4 … (1) a+8d=−8 … (2) (2)−(1): 6d=−12 → d=−2 a−4=4 → a=8

8+(n−1)(−2)=0 → −2(n−1)=−8 → n−1=4 → n=5

5వ పదం సున్నా అవుతుంది.

Question 10.

17th term exceeds 10th term by 7. Find d.

a+16d = a+9d+7 7d=7 → d=1

Question 11.

Which term of AP 3, 15, 27, 39, … is 132 more than its 54th term?

a=3, d=12 nth term = 54th term + 132 3+(n−1)12 = 3+53(12)+132 (n−1)12 = 636+132 = 768 n−1=64 → n=65

Question 12.

Two APs same common difference. Difference of 100th terms = 100. Find difference of 1000th terms.

aₙ − bₙ = (a₁+(n−1)d) − (b₁+(n−1)d) = a₁ − b₁ (d cancels out)

కాబట్టి ఈ తేడా n తో సంబంధం లేకుండా ఎప్పుడూ (a₁−b₁) కే సమానం.

∴ 1000th terms తేడా కూడా 100.

Question 13.

How many three-digit numbers are divisible by 7?

మొదటి 3-అంకెల సంఖ్య 7 చే భాగించబడేది = 105, చివరిది = 994 a=105, d=7, l=994 (n−1)=(994−105)/7=127 → n=128

Question 14.

How many multiples of 4 lie between 10 and 250?

మొదటిది=12, చివరిది=248 a=12, d=4, l=248 (n−1)=(248−12)/4=59 → n=60

Question 15.

For what n, are nth terms of APs 63,65,67,… and 3,10,17,… equal?

AP1: a=63, d=2. AP2: a=3, d=7 63+(n−1)2 = 3+(n−1)7 63+2n−2 = 3+7n−7 61+2n = 7n−4 65 = 5n → n=13

Question 16.

3rd term=16, 7th term exceeds 5th term by 12. Find the AP.

a+2d=16 … (1) a+6d = a+4d+12 → 2d=12 → d=6 a+12=16 → a=4

AP: 4, 10, 16, 22, …

Question 17.

Find 20th term from the last term of AP 3,8,13,…,253.

చివరి నుండి లెక్కిస్తే: a=253, d=−5 (వెనక్కి వెళ్తే తేడా ప్రతికూలం) a₂₀ = 253+19(−5) = 253−95 = 158

Question 18.

Sum of 4th & 8th terms=24; sum of 6th & 10th terms=44. Find first three terms.

a+3d+a+7d=24 → a+5d=12 … (1) a+5d+a+9d=44 → a+7d=22 … (2) (2)−(1): 2d=10 → d=5 a+25=12 → a=−13

మొదటి మూడు పదాలు: −13, −8, −3

Question 19.

Subba Rao 1995లో ₹5000 జీతం, ప్రతి సంవత్సరం ₹200 పెరుగుదల. ఏ సంవత్సరంలో జీతం ₹7000 అవుతుంది?

a=5000, d=200, l=7000 (n−1)=(7000−5000)/200=10 → n=11

11వ సంవత్సరం (అంటే 1995+10 = 2005) లో జీతం ₹7000 కి చేరుతుంది.

Question 20.

Ramkali మొదటి వారం ₹5 పొదుపు చేసింది, ప్రతి వారం ₹1.75 పెంచుతూ పోయింది. ఏ వారంలో పొదుపు ₹20.75 అవుతుంది?

a=5, d=1.75, l=20.75 (n−1)=(20.75−5)/1.75=9 → n=10

10వ వారంలో పొదుపు ₹20.75 అవుతుంది.

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

aₙ = a + (n−1)d అనే ఫార్ములా ఈ Exercise మొత్తానికి పునాది — దీన్ని బాగా గుర్తుపెట్టుకోండి
రెండు వేర్వేరు terms ఇచ్చినప్పుడు (ఉదా: 11th, 16th), రెండు సమీకరణాలు ఏర్పరచి, తీసివేసి d కనుక్కోవడం ప్రధాన పద్ధతి
n అనేది ఎప్పుడూ ధన పూర్ణ సంఖ్య (positive integer) గా రావాలి — fraction వస్తే, ఆ సంఖ్య AP లో లేదని అర్థం (Q6 లాంటివి)
“Last term నుండి nth term” ప్రశ్నల్లో, common difference sign మారుతుంది (వెనక్కి లెక్కించేటప్పుడు −d వాడాలి)

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. nth term formula ఏమిటి? aₙ = a + (n−1)d

2. n ఫ్రాక్షన్ గా వస్తే దాని అర్థం ఏమిటి? ఇచ్చిన సంఖ్య ఆ AP లో పదం కాదని అర్థం (n ఎప్పుడూ positive integer గానే ఉండాలి).

3. రెండు APs కి common difference ఒకటే అయితే, వాటి nth terms తేడా ఎలా ఉంటుంది? ఆ తేడా n తో సంబంధం లేకుండా, ఎప్పుడూ స్థిరంగా (constant) ఉంటుంది — ఇది వాటి మొదటి పదాల తేడాకు సమానం.