AP 10th Class Maths Chapter 1 – Real Numbers Exercise 1.1 Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

10వ తరగతి Maths మొదటి చాప్టర్ Real Numbers లో మొదటి Exercise (1.1) ప్రధానంగా Prime Factorization, HCF, LCM అంశాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇక్కడ ప్రతి ప్రశ్నకూ స్టెప్-బై-స్టెప్ సొల్యూషన్ ఇచ్చాం, తద్వారా మీరు పద్ధతిని అర్థం చేసుకుని, సొంతంగా solve చేయగలరు.

Question 1.

Express each number as a product of its prime factors:
i) 140 ii) 156 iii) 3825 iv) 5005 v) 7429

Solution:

i) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5¹ × 7¹

ii) 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3¹ × 13¹

iii) 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17¹

iv) 5005 = 5 × 7 × 11 × 13

v) 7429 = 17 × 19 × 23

Question 2.

Find the LCM and HCF of the following pairs of integers and verify that LCM × HCF = product of the two numbers.

i) 26 and 91

26 = 2 × 13
91 = 7 × 13

HCF (26, 91) = 13
LCM (26, 91) = 2 × 7 × 13 = 182

Verification: LCM × HCF = 182 × 13 = 2366
Product of numbers = 26 × 91 = 2366
∴ LCM × HCF = Product of the two numbers ✓

ii) 510 and 92

510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2² × 23

HCF (510, 92) = 2
LCM (510, 92) = 2² × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460

Verification: LCM × HCF = 23460 × 2 = 46920
Product of numbers = 510 × 92 = 46920
∴ LCM × HCF = Product of the two numbers ✓

iii) 336 and 54

336 = 2⁴ × 3 × 7
54 = 2 × 3³

HCF (336, 54) = 2 × 3 = 6
LCM (336, 54) = 2⁴ × 3³ × 7 = 3024

Verification: LCM × HCF = 3024 × 6 = 18144
Product of numbers = 336 × 54 = 18144
∴ LCM × HCF = Product of the two numbers ✓

Question 3.

Find the LCM and HCF of the following integers by applying the prime factorisation method.

i) 12, 15 and 21

12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7

HCF (12, 15, 21) = 3
LCM (12, 15, 21) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420

ii) 17, 23 and 29

ఈ మూడు సంఖ్యలూ ప్రైమ్ నంబర్లు, కాబట్టి వీటికి 1 తప్ప వేరే ఉమ్మడి కారణాంకం ఉండదు.

HCF (17, 23, 29) = 1
LCM (17, 23, 29) = 17 × 23 × 29 = 11339

iii) 8, 9 and 25

8 = 2³
9 = 3²
25 = 5²

ఈ మూడు సంఖ్యలకూ ఉమ్మడి ప్రైమ్ ఫ్యాక్టర్ లేదు (co-prime).

HCF (8, 9, 25) = 1
LCM (8, 9, 25) = 2³ × 3² × 5² = 1800

Question 4.

Given that HCF (306, 657) = 9, find LCM (306, 657).

Solution:

మనకు తెలిసిన సూత్రం: HCF × LCM = Product of the two numbers

9 × LCM = 306 × 657
LCM = (306 × 657) / 9
LCM = 200,970 / 9
LCM (306, 657) = 22338

Question 5.

Check whether 6ⁿ can end with the digit 0 for any natural number n.

Solution:

ఏదైనా సంఖ్య 0 తో ముగియాలంటే, దాని ప్రధాన కారణాంకాలలో (prime factorization) తప్పనిసరిగా 2 మరియు 5 రెండూ ఉండాలి (ఎందుకంటే 10 = 2 × 5).

6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ

6ⁿ యొక్క prime factorization లో 2 మరియు 3 మాత్రమే ఉన్నాయి, 5 లేదు.

కాబట్టి, ఏ సహజ సంఖ్య n కైనా, 6ⁿ 0 తో ముగియదు.

Question 6.

Explain why 7 × 11 × 13 + 13 and 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 are composite numbers.

Solution:

భాగం 1: 7 × 11 × 13 + 13
= 13 × (7 × 11 + 1)
= 13 × (77 + 1)
= 13 × 78

ఇది రెండు కారణాంకాల (13, 78) లబ్ధంగా రాయగలం కాబట్టి, ఇది ఒక composite number.

భాగం 2: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 × (1008 + 1)
= 5 × 1009

ఇది కూడా రెండు కారణాంకాల (5, 1009) లబ్ధంగా రాయగలం కాబట్టి, ఇది ఒక composite number.

Question 7.

There is a circular path around a sports field. Sonia takes 18 minutes to drive one round of the field, while Ravi takes 12 minutes for the same. Suppose they both start at the same point and at the same time and go in the same direction. After how many minutes will they meet again at the starting point?

Solution:

వాళ్ళిద్దరూ మళ్ళీ ఒకేసారి starting point కి చేరుకోవాలంటే, అది 18 మరియు 12 ల LCM వద్ద జరుగుతుంది.

18 = 2 × 3²
12 = 2² × 3

LCM (18, 12) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

సోనియా మరియు రవి 36 నిమిషాల తర్వాత మళ్ళీ starting point వద్ద కలుస్తారు.

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

Fundamental Theorem of Arithmetic ప్రకారం, ప్రతి composite number ని ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా ఒకే ఒక విధంగా రాయవచ్చు
HCF × LCM = Product of two numbers — ఇది కేవలం రెండు సంఖ్యలకే వర్తిస్తుంది, మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యలకు వర్తించదు
ఏదైనా సంఖ్య 0 తో ముగియాలంటే, దాని factorization లో 2 మరియు 5 రెండూ తప్పనిసరిగా ఉండాలి
Composite number ని నిరూపించడానికి, దాన్ని రెండు factors గా విడగొట్టి చూపిస్తే సరిపోతుంది

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Exercise 1.1 లో ఏ అంశాలు కవర్ చేయబడ్డాయి?
Prime Factorization, HCF & LCM calculation, మరియు Fundamental Theorem of Arithmetic అనువర్తనాలు.

2. HCF × LCM = Product ఫార్ములా మూడు సంఖ్యలకు వర్తిస్తుందా?
లేదు, ఇది కేవలం రెండు సంఖ్యలకే వర్తిస్తుంది. మూడు సంఖ్యలకు HCF, LCM లను విడిగా prime factorization ద్వారా కనుక్కోవాలి.

3. 6ⁿ ఎప్పుడైనా 0 తో ముగుస్తుందా?
లేదు, ఎందుకంటే 6ⁿ యొక్క factorization లో 5 ఉండదు, కాబట్టి ఏ n కి కూడా ఇది 0 తో ముగియదు.

4. ఒక సంఖ్య composite అని ఎలా నిరూపించాలి?
దాన్ని రెండు factors గా (1 మరియు ఆ సంఖ్య తప్ప) విడగొట్టి చూపిస్తే సరిపోతుంది.