AP 10th Class Maths Chapter 5 – Arithmetic Progressions Exercise 5.3 Solutions

Key Concept: Sum of n Terms Formula

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d] … (a, d తెలిసినప్పుడు)

Sₙ = n/2 (a + l) … (a, last term l తెలిసినప్పుడు)

Question 1.

Find the sum of the following APs:

i) 2, 7, 12, …, 10 terms a=2, d=5, n=10 S₁₀ = 10/2[4+9(5)] = 5[4+45] = 245

ii) −37, −33, −29, …, 12 terms a=−37, d=4, n=12 S₁₂ = 6[2(−37)+11(4)] = 6[−74+44] = 6(−30) = −180

iii) 0.6, 1.7, 2.8, …, 100 terms a=0.6, d=1.1, n=100 S₁₀₀ = 50[1.2+99(1.1)] = 50[1.2+108.9] = 50(110.1) = 5505

iv) 1/15, 1/12, 1/10, …, 11 terms a=1/15, d=1/12−1/15=1/60 S₁₁ = 11/2[2/15+10(1/60)] = 11/2[8/60+10/60] = 11/2 × 18/60 = 33/20

Question 2.

Find the sums given below:

i) 7 + 10½ + 14 + … + 84 a=7, d=3.5, l=84 n−1=(84−7)/3.5=22 → n=23 S = 23/2(7+84) = 23/2(91) = 1046½

ii) 34 + 32 + 30 + … + 10 a=34, d=−2, l=10 n−1=(10−34)/(−2)=12 → n=13 S = 13/2(34+10) = 13/2(44) = 286

iii) −5 + (−8) + (−11) + … + (−230) a=−5, d=−3, l=−230 n−1=(−230+5)/(−3)=75 → n=76 S = 76/2(−5−230) = 38(−235) = −8930

Question 3.

In an AP:

i) a=5, d=3, aₙ=50 → find n, Sₙ n−1=(50−5)/3=15 → n=16 S₁₆=8[10+15(3)]=8(55)=440

ii) a=7, a₁₃=35 → find d, S₁₃ d=(35−7)/12=28/12=7/3 S₁₃=13/2(7+35)=13(21)=273

iii) a₁₂=37, d=3 → find a, S₁₂ a=37−11(3)=4 S₁₂=6[8+33]=246

iv) a₃=15, S₁₀=125 → find d, a₁₀ a+2d=15 … (1) 2a+9d=25 … (2) [from S₁₀=5(2a+9d)=125] (1),(2) సాధించగా: d=−1, a=17, a₁₀=17+9(−1)=8

v) d=5, S₉=75 → find a, a₉ 9/2[2a+40]=75 → 2a+40=50/3 → a=−35/3 a₉=a+8d=−35/3+40=85/3

vi) a=2, d=8, Sₙ=90 → find n, aₙ Sₙ=4n²−2n=90 → 2n²−n−45=0 → n=5 a₅=2+4(8)=34

vii) a=8, aₙ=62, Sₙ=210 → find n, d (n−1)d=54 … (1); n[16+54]=420→n=6 d=54/5=54/5

viii) aₙ=4, d=2, Sₙ=−14 → find n, a సాధించగా: n=7, a=−8

ix) a=3, n=8, Sₙ=192 → find d 192=4[6+7d] → 48=6+7d → d=6

x) l=28, S=144, n=9 → find a 144=9/2(a+28) → a+28=32 → a=4

Question 4.

How many terms of AP 9, 17, 25, … give sum 636?

a=9, d=8. 4n²+5n−636=0 → n=12

Question 5.

First term=5, last term=45, sum=400. Find n and d.

S=n/2(a+l) → 400=n/2(50) → n=16 l=a+(n−1)d → 45=5+15d → d=40/15=8/3

Question 6.

First term=17, last term=350, d=9. Find n and sum.

n−1=(350−17)/9=37 → n=38 S=38/2(17+350)=19(367)=6973

Question 7.

d=7, a₂₂=149. Find S₂₂.

a=149−21(7)=2 S₂₂=11[4+21(7)]=11(151)=1661

Question 8.

a₂=14, a₃=18. Find S₅₁.

d=4, a=10 S₅₁=51/2[20+50(4)]=51/2(220)=51(110)=5610

Question 9.

S₇=49, S₁₇=289. Find Sₙ.

a+3d=7 … (1) a+8d=17 … (2) (2)−(1): 5d=10 → d=2, a=1

Sₙ = n/2[2(1)+(n−1)2] = n/2(2n) = n²

(ఇది ఒక అందమైన pattern — Sₙ = n²)

Question 10.

Show that aₙ forms an AP, find S₁₅.

i) aₙ = 3+4n a₁=7, a₂=11, a₃=15 → d=4 S₁₅ = 15/2[14+14(4)] = 15/2(70) = 525

ii) aₙ = 9−5n a₁=4, a₂=−1, a₃=−6 → d=−5 S₁₅ = 15/2[8+14(−5)] = 15/2(−62) = −465

Question 11.

Sₙ = 4n−n². Find a, a₂, a₃, a₁₀, aₙ.

S₁=3=a; S₂=4 → a₂=S₂−S₁=1; d=a₂−a₁=−2 a₃=3+2(−2)=−1 a₁₀=3+9(−2)=−15 aₙ = 3+(n−1)(−2) = 5−2n

Question 12.

Sum of first 40 positive integers divisible by 6.

a=6, d=6, n=40 S₄₀=20[12+39(6)]=20(246)=4920

Question 13.

Sum of first 15 multiples of 8.

a=8, d=8, n=15 S₁₅=15/2[16+14(8)]=15/2(128)=960

Question 14.

Sum of odd numbers between 0 and 50.

1,3,…,49 → a=1,d=2,n=25 S=25/2(1+49)=625

Question 15.

Construction delay penalty: ₹200 first day, +₹50 each day. Total for 30 days delay?

a=200, d=50, n=30 S₃₀=15[400+29(50)]=15(1850)=₹27,750

Question 16.

₹700 for 7 prizes, each ₹20 less than preceding. Find each prize.

7a−20(0+1+…+6)=700 → 7a−420=700 → a=160

బహుమతులు: 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40

Question 17.

Trees planted: Class 1 section plants 1 tree, Class 2 → 2 trees, … Class 12 → 12 trees. 3 sections each class. Total trees?

మొత్తం = 3 × (1+2+…+12) = 3 × [12/2 × 13] = 3 × 78 = 234

Question 18.

Spiral of 13 semicircles, radii 0.5, 1.0, 1.5, … cm. Total length? (π=22/7)

radii AP: a=0.5, d=0.5, n=13 Sum of radii = 13/2[1+12(0.5)] = 13/2(7) = 91/2

మొత్తం పొడవు = π × (sum of radii) = 22/7 × 91/2 = 143 cm

Question 19.

200 logs stacked: 20 bottom row, 19 next, … In how many rows, top row logs?

a=20, d=−1, Sₙ=200 n²−41n+400=0 → n=16 లేదా n=25

n=25 అయితే a₂₅=20+24(−1)=−4 (negative, అసంభవం). కాబట్టి n=16 rows a₁₆=20+15(−1)=5 logs in top row

Question 20.

Potato race: bucket 5m from first potato, potatoes 3m apart, 10 potatoes. Total distance run?

nth potato కి round trip దూరం = 2[5+(n−1)3] AP: 10, 16, 22, …, n=10 → a=10, d=6 S₁₀=5[20+9(6)]=5(74)=370 m

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

రెండు ఫార్ములాలు గుర్తుంచుకోండి: Sₙ = n/2[2a+(n−1)d] (a,d తెలిసినప్పుడు), Sₙ = n/2(a+l) (last term తెలిసినప్పుడు)
Word problems లో, ముందు AP ని (a, d) గుర్తించి, తర్వాత సరైన ఫార్ములా వాడాలి
n కనుక్కునే ప్రశ్నల్లో, quadratic equation వస్తే రెండు roots రావొచ్చు — భౌతికంగా అసంభవమైన root ని (negative rows, negative logs వంటివి) తిరస్కరించాలి
Q9 లాంటి ప్రశ్నల్లో, Sₙ ఒక క్లీన్ ఫార్ములా (n²) గా వస్తే, అది ఒక ప్రత్యేకమైన AP అని సూచిస్తుంది (ఇక్కడ a=1, d=2, అంటే ఇది 1,3,5,7… బేసి సంఖ్యల AP)

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Sum of n terms కి రెండు ఫార్ములాలు ఎప్పుడెప్పుడు వాడాలి? a, d తెలిసినప్పుడు Sₙ=n/2[2a+(n−1)d] వాడాలి. a, last term (l) తెలిసినప్పుడు Sₙ=n/2(a+l) వాడాలి — ఇది వేగంగా ఉంటుంది.

2. n కి రెండు roots వస్తే ఏది తీసుకోవాలి? భౌతికంగా సాధ్యమైనదాన్ని (positive, realistic) తీసుకోవాలి, అసంభవమైనదాన్ని (negative count, negative rows) తిరస్కరించాలి.

3. Word problems లో AP ఎలా గుర్తించాలి? సమస్యలో “ప్రతి తర్వాతి దానికి ఇంత పెరుగుదల/తగ్గుదల” అని ఉంటే, అది AP సూచన — దాన్ని బట్టి a, d నిర్ధారించుకోవాలి.