AP 10th Class Maths Chapter 5 – Arithmetic Progressions Exercise 5.4 (Optional) Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

ఇది Arithmetic Progressions చాప్టర్‌లో చివరి, Optional Exercise — ఇందులో ఉన్న 5 ప్రశ్నలూ కొంచెం advanced level, real-life situations (నిచ్చెన, ఇళ్ల నంబర్లు, మెట్లు) మీద ఆధారపడి ఉంటాయి.

Question 1.

Which term of the AP: 121, 117, 113, …, is its first negative term?

Solution:

a=121, d=117−121=−4 aₙ = 121+(n−1)(−4) = 125−4n

aₙ < 0 కావాలంటే: 125−4n < 0 → n > 125/4 = 31.25

n ఒక integer కాబట్టి, n=32 అనేది మొదటి negative term వచ్చే స్థానం.

a₃₂ = 125−4(32) = 125−128 = −3

∴ 32వ పదం మొదటి negative term (విలువ −3).

Question 2.

Sum of 3rd and 7th terms of an AP is 6, their product is 8. Find the sum of first 16 terms.

Solution:

a₃+a₇ = (a+2d)+(a+6d) = 2a+8d = 6 → a+4d=3 … (1)

a₃×a₇ = (a+2d)(a+6d) = 8

ఇక్కడ ఒక ట్రిక్ వాడదాం: (a+2d) = (a+4d)−2d = 3−2d, మరియు (a+6d) = (a+4d)+2d = 3+2d

కాబట్టి: (3−2d)(3+2d) = 8 9 − 4d² = 8 4d² = 1 d = ±1/2

Case 1: d = 1/2 a+4(1/2)=3 → a+2=3 → a=1 S₁₆ = 16/2[2(1)+15(1/2)] = 8[2+7.5] = 8(9.5) = 76

Case 2: d = −1/2 a+4(−1/2)=3 → a−2=3 → a=5 S₁₆ = 8[10+15(−1/2)] = 8[10−7.5] = 8(2.5) = 20

∴ S₁₆ విలువ 76 లేదా 20 కావొచ్చు (రెండు సందర్భాలూ valid).

Question 3.

Ladder rungs 25 cm apart. Bottom rung 45 cm, top rung 25 cm. Top-bottom distance = 2½ m. Find total wood length for rungs.

Solution:

Rungs మధ్య దూరం = 25 cm, మొత్తం దూరం = 2.5 m = 250 cm Rungs సంఖ్య = 250/25 + 1 = 11

Rungs పొడవులు AP గా ఉన్నాయి: a=45, l=25, n=11

Sₙ = n/2 (a+l) = 11/2 (45+25) = 11/2 (70) = 385 cm (= 3.85 m)

∴ మొత్తం కర్ర పొడవు = 385 cm.

Question 4.

Houses numbered 1 to 49. Find x such that sum of house numbers before x = sum after x.

Solution:

x−1 ఇళ్ల మొత్తం (1 నుండి x−1 వరకు) = (x+1) నుండి 49 వరకు ఇళ్ల మొత్తం

(x−1)x/2 = [49×50/2] − [x(x+1)/2]

రెండు వైపులా 2 తో గుణిస్తే: x(x−1) = 2450 − x(x+1) x² − x = 2450 − x² − x 2x² = 2450 x² = 1225 x = 35

∴ 35వ ఇల్లు ఈ షరతుని satisfy చేస్తుంది.

Question 5.

Terrace has 15 steps, each 50 m long. Rise = 1/4 m, Tread (breadth) = 1/2 m, height increasing uniformly. Find total concrete volume.

Solution:

ప్రతి మెట్టు వాల్యూమ్ = పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు = 50 × (1/2) × h = 25h

ఎత్తులు (heights) ఒక AP గా ఉన్నాయి: a=1/4, d=1/4, n=15

Sum of heights = S₁₅ = 15/2[2(1/4)+14(1/4)] = 15/2[0.5+3.5] = 15/2 × 4 = 30

మొత్తం వాల్యూమ్ = 25 × 30 = 750 m³

∴ మొత్తం కాంక్రీట్ వాల్యూమ్ = 750 m³.

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

“First negative term” ప్రశ్నల్లో, aₙ < 0 అనే inequality సాధించి, n ని తర్వాతి integer కి round చేయాలి
(a+2d)(a+6d) లాంటి ప్రొడక్ట్‌లను, (a+4d)²−(2d)² రూపంలో (difference of squares) రాస్తే సులభంగా solve అవుతుంది
Real-life problems (నిచ్చెన, మెట్లు) లో, ముందు ఏది AP గా ఉందో గుర్తించి (ఇక్కడ rung లెంగ్త్‌లు లేదా step heights), తర్వాత సూత్రాలు వాడాలి
Q4 లాంటి “balance point” ప్రశ్నలకు, sum ఫార్ములాలను రెండు వైపులా సమానం చేసి, క్వాడ్రాటిక్‌గా సాధించడం ప్రధాన టెక్నిక్

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. First negative term ఎలా కనుక్కోవాలి? aₙ < 0 అనే inequality ని n కోసం సాధించి, n ని తర్వాతి integer కి round చేయాలి (ఎందుకంటే n ఎప్పుడూ ధన పూర్ణ సంఖ్యే).

2. Q2 లో రెండు సమాధానాలు (76, 20) ఎందుకు వచ్చాయి? ఎందుకంటే d² = 1/4 కి రెండు విలువలు (d=1/2, d=−1/2) సాధ్యమే, రెండూ ఇచ్చిన షరతులను satisfy చేస్తాయి.

3. ఈ Exercise లో ఏ real-life అప్లికేషన్స్ ఉన్నాయి? నిచ్చెన rungs, ఇళ్ల నంబరింగ్, terrace మెట్ల నిర్మాణం — ఇవి AP concept ని నిజ జీవిత సందర్భాలకు అన్వయిస్తాయి.