AP 10th Class Maths Chapter 4 – Quadratic Equations Exercise 4.1 Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Quadratic Equations చాప్టర్‌లో మొదటి Exercise, ఒక సమీకరణం quadratic (వర్గ సమీకరణం) అవునో కాదో గుర్తించడం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. దీనికి కావాల్సింది ఒక్కటే — సమీకరణాన్ని సరళీకరించి (simplify చేసి), అది ax² + bx + c = 0 రూపంలో ఉందో లేదో చూడటం (a ≠ 0 అయి ఉండాలి).

Key Concept: Quadratic Equation అంటే ఏమిటి?

ఒక సమీకరణం ax² + bx + c = 0 రూపంలో రాయగలిగితే (ఇక్కడ a ≠ 0), దాన్ని quadratic equation అంటారు — అంటే simplify చేశాక x యొక్క అత్యధిక power సరిగ్గా 2 గా ఉండాలి. Power 1 (linear) అయినా, 3 (cubic) అయినా అది quadratic కాదు.

Question 1.

Check whether the following are quadratic equations:

i) (x + 1)² = 2(x − 3)

x² + 2x + 1 = 2x − 6
x² + 2x − 2x + 1 + 6 = 0
x² + 7 = 0 (i.e., x² + 0x + 7 = 0)

ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో ఉంది. ∴ ఇది Quadratic Equation.

ii) x² − 2x = (−2)(3 − x)

x² − 2x = −6 + 2x
x² − 4x + 6 = 0

∴ ఇది Quadratic Equation.

iii) (x − 2)(x + 1) = (x − 1)(x + 3)

x² − x − 2 = x² + 2x − 3
−x − 2x − 2 + 3 = 0
−3x + 1 = 0 (i.e., 3x − 1 = 0)

x యొక్క power 1 మాత్రమే (linear). ∴ ఇది Quadratic Equation కాదు.

iv) (x − 3)(2x + 1) = x(x + 5)

2x² − 5x − 3 = x² + 5x
2x² − x² − 5x − 5x − 3 = 0
x² − 10x − 3 = 0

∴ ఇది Quadratic Equation.

v) (2x − 1)(x − 3) = (x + 5)(x − 1)

2x² − 7x + 3 = x² + 4x − 5
2x² − x² − 7x − 4x + 3 + 5 = 0
x² − 11x + 8 = 0

∴ ఇది Quadratic Equation.

vi) x² + 3x + 1 = (x − 2)²

x² + 3x + 1 = x² − 4x + 4
3x + 4x + 1 − 4 = 0
7x − 3 = 0

x యొక్క power 1 మాత్రమే. ∴ ఇది Quadratic Equation కాదు.

vii) (x + 2)³ = 2x(x² − 1)

x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ − 2x
x³ − 2x³ + 6x² + 12x + 2x + 8 = 0
x³ − 6x² − 14x − 8 = 0

x యొక్క power 3 (cubic). ∴ ఇది Quadratic Equation కాదు.

viii) x³ − 4x² − x + 1 = (x − 2)³

(x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8

x³ − 4x² − x + 1 = x³ − 6x² + 12x − 8
(x³ − x³) + (−4x² + 6x²) + (−x − 12x) + (1 + 8) = 0
2x² − 13x + 9 = 0

ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో ఉంది. ∴ ఇది Quadratic Equation.

(గమనిక: ఈ ప్రశ్నకు కొన్ని ఇతర సైట్లలో “2x² + 11x − 7 = 0” అని తప్పు సమాధానం కనిపిస్తుంది — సరైన సమాధానం verify చేయగా 2x² − 13x + 9 = 0 అని నిర్ధారించబడింది.)

Question 2.

Represent the following situations in the form of quadratic equations:

i) దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం వైశాల్యం 528 m², పొడవు వెడల్పుకు రెండింతలు కంటే 1 ఎక్కువ

వెడల్పు = x మీటర్లు, పొడవు = (2x + 1) మీటర్లు
వైశాల్యం = x(2x + 1) = 528
2x² + x − 528 = 0

ii) రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల లబ్ధం 306

సంఖ్యలు x, (x+1) అనుకుందాం.
x(x + 1) = 306
x² + x − 306 = 0

iii) రోహన్ తల్లి వయసు అతని కంటే 26 ఏళ్లు ఎక్కువ; 3 సంవత్సరాల తర్వాత వారి వయసుల లబ్ధం 360

రోహన్ ప్రస్తుత వయసు = x సంవత్సరాలు
తల్లి వయసు = x + 26
3 ఏళ్ల తర్వాత: (x+3)(x+29) = 360
x² + 32x + 87 = 360
x² + 32x − 273 = 0

(ఈ సమీకరణాన్ని సాధిస్తే: x² + 39x − 7x − 273 = 0 → (x+39)(x−7) = 0 → x = 7 లేదా x = −39. వయసు ఋణాత్మకం కాకూడదు కాబట్టి, రోహన్ ప్రస్తుత వయసు = 7 సంవత్సరాలు)

iv) రైలు 480 కి.మీ దూరం ప్రయాణిస్తుంది; వేగం 8 km/h తక్కువైతే, 3 గంటలు ఎక్కువ పడుతుంది

వేగం = x km/h అనుకుందాం.
480/(x−8) − 480/x = 3
480 × 8 = 3x(x−8)
3840 = 3x² − 24x
x² − 8x − 1280 = 0

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

ఏదైనా సమీకరణం quadratic అవునో కాదో చూడాలంటే, ముందు పూర్తిగా simplify చేసి, x² term ఉందో లేదో, ఉంటే higher power (x³ వంటివి) లేదో చెక్ చేయాలి
(a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ అనే identity గుర్తుంచుకుంటే, cube expansions తొందరగా చేయగలరు
Word problems లో, variable ని define చేశాక, దాన్ని జాగ్రత్తగా సమీకరణంలో పెట్టి, చివరికి ax²+bx+c=0 రూపానికి తీసుకురావాలి
Age problems లో “3 సంవత్సరాల తర్వాత” అంటే ప్రస్తుత వయసుకి 3 కలపాలి, ఇలాంటి చిన్న detail లు జాగ్రత్తగా గమనించాలి

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Quadratic Equation యొక్క standard form ఏమిటి?
ax² + bx + c = 0, ఇక్కడ a ≠ 0.

2. ఒక సమీకరణంలో x³ ఉంటే అది quadratic అవుతుందా?
లేదు, x³ ఉంటే అది cubic equation అవుతుంది, quadratic కాదు. Simplify చేశాక x³ term cancel అయితే మాత్రమే అది quadratic అవుతుంది (ఉదాహరణకు Q1-viii లో ఇదే జరిగింది).

3. Word problem నుండి quadratic equation ఎలా ఏర్పరచాలి?
తెలియని విలువను x గా define చేసి, ప్రశ్నలో ఇచ్చిన సమాచారాన్ని ఒక సమీకరణంగా రాసి, దాన్ని ax²+bx+c=0 రూపానికి తీసుకురావాలి.