AP 10th Class Maths Chapter 4 – Quadratic Equations Exercise 4.2 Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Exercise 4.1 లో ఏది quadratic equation అో గుర్తించడం నేర్చుకున్నాం, ఇప్పుడు Exercise 4.2 లో Factorisation Method ద్వారా ఆ సమీకరణాల roots (మూలాలు) ఎలా కనుక్కోవాలో నేర్చుకుందాం.

Question 1.

Find the roots of the following quadratic equations by factorisation:

i) x² − 3x − 10 = 0

x² − 5x + 2x − 10 = 0
x(x − 5) + 2(x − 5) = 0
(x + 2)(x − 5) = 0

roots: x = −2, x = 5

ii) 2x² + x − 6 = 0

2x² + 4x − 3x − 6 = 0
2x(x + 2) − 3(x + 2) = 0
(2x − 3)(x + 2) = 0

roots: x = 3/2, x = −2

iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0

√2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
(√2x + 5)(x + √2) = 0

roots: x = −5/√2, x = −√2

iv) 2x² − x + 1/8 = 0

మొత్తం సమీకరణాన్ని 8 తో గుణిస్తే: 16x² − 8x + 1 = 0

16x² − 4x − 4x + 1 = 0
4x(4x − 1) − 1(4x − 1) = 0
(4x − 1)(4x − 1) = 0

roots: x = 1/4, x = 1/4 (Double Root)

v) 100x² − 20x + 1 = 0

100x² − 10x − 10x + 1 = 0
10x(10x − 1) − 1(10x − 1) = 0
(10x − 1)(10x − 1) = 0

roots: x = 1/10, x = 1/10 (Double Root)

Question 2.

Solve the problems given in Example 1 (of the textbook).

i) John, Jivanti ల దగ్గర కలిపి 45 గోళీలు; ఇద్దరూ 5 గోళీలు కోల్పోతే, మిగిలిన గోళీల లబ్ధం 124

John దగ్గర గోళీలు = x, Jivanti దగ్గర = 45 − x
5 కోల్పోయాక: John = x−5, Jivanti = 40−x

(x−5)(40−x) = 124
40x − x² − 200 + 5x = 124
−x² + 45x − 200 = 124
x² − 45x + 324 = 0
x² − 36x − 9x + 324 = 0
(x − 9)(x − 36) = 0

x = 9 లేదా x = 36

కాబట్టి John దగ్గర 9 (Jivanti దగ్గర 36), లేదా John దగ్గర 36 (Jivanti దగ్గర 9) గోళీలు ఉండేవి.

ii) Toy తయారీ ఖర్చు = (55 − toys సంఖ్య); మొత్తం ఖర్చు ₹750

toys సంఖ్య = x అనుకుందాం.
x(55 − x) = 750
55x − x² = 750
x² − 55x + 750 = 0
x² − 30x − 25x + 750 = 0
(x − 25)(x − 30) = 0

x = 25 లేదా x = 30 toys ఉత్పత్తి చేయబడ్డాయి.

Question 3.

Find two numbers whose sum is 27 and product is 182.

Solution:

x + y = 27 → y = 27 − x
xy = 182

x(27 − x) = 182
27x − x² = 182
x² − 27x + 182 = 0
x² − 14x − 13x + 182 = 0
(x − 13)(x − 14) = 0

సంఖ్యలు: 13, 14

Question 4.

Find two consecutive positive integers, sum of whose squares is 365.

Solution:

x, (x+1) అనుకుందాం.
x² + (x+1)² = 365
2x² + 2x + 1 − 365 = 0
2x² + 2x − 364 = 0
x² + x − 182 = 0
x² + 14x − 13x − 182 = 0
(x − 13)(x + 14) = 0

x = 13 లేదా x = −14 (ధన సంఖ్య అడిగారు కాబట్టి −14 తిరస్కరించాలి)

సంఖ్యలు: 13, 14

Question 5.

The altitude of a right triangle is 7 cm less than its base. If the hypotenuse is 13 cm, find the other two sides.

Solution:

base = x cm, altitude = (x−7) cm

Pythagoras Theorem: x² + (x−7)² = 13²
x² + x² − 14x + 49 = 169
2x² − 14x − 120 = 0
x² − 7x − 60 = 0
x² − 12x + 5x − 60 = 0
(x + 5)(x − 12) = 0

x = −5 (తిరస్కరించాలి, పొడవు ఋణాత్మకం కాకూడదు) లేదా x = 12

Base = 12 cm, Altitude = 12 − 7 = 5 cm

Question 6.

Cottage industry: cost of each article = 3 more than twice the number of articles; total cost = ₹90.

Solution:

articles సంఖ్య = x అనుకుందాం.
ఒక్కో article ఖర్చు = (2x + 3)

x(2x + 3) = 90
2x² + 3x − 90 = 0
2x² + 15x − 12x − 90 = 0
(x − 6)(2x + 15) = 0

x = 6 లేదా x = −15/2 (తిరస్కరించాలి)

Articles సంఖ్య = 6, ఒక్కో Article ఖర్చు = 2(6) + 3 = ₹15

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

Factorisation చేసేటప్పుడు, middle term ని split చేసేటప్పుడు వాటి లబ్ధం = (a × c) కి, మొత్తం = b కి సమానంగా ఉండాలి
Double root వచ్చినప్పుడు (ఉదా: iv, v), discriminant (b²−4ac) సున్నా అవుతుంది
Word problems లో వచ్చిన negative లేదా అసంభవమైన (unrealistic) roots ని తిరస్కరించాలి — పొడవు, వయసు, గోళీల సంఖ్య ఋణాత్మకంగా ఉండకూడదు
Two consecutive integers, two numbers with given sum/product లాంటి ప్రశ్నలు అన్నీ ఒకే విధమైన సెటప్‌ని ఫాలో అవుతాయి

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Exercise 4.2 లో ప్రధాన అంశం ఏమిటి?
Factorisation Method ద్వారా quadratic equations యొక్క roots కనుక్కోవడం.

2. Double root అంటే ఏమిటి?
రెండు roots సమానంగా ఉండటం (ఉదా: x=1/4, 1/4) — ఇది discriminant సున్నా అయినప్పుడు వస్తుంది.

3. Word problem లో negative root ఎందుకు తిరస్కరించాలి?
పొడవు, వయసు, వస్తువుల సంఖ్య లాంటివి ఎప్పుడూ ధనాత్మకంగా ఉండాలి కాబట్టి, ఆ సందర్భంలో negative root భౌతికంగా అర్థరహితం.