AP 10th Class Maths Chapter 1 – Real Numbers Optional Exercise Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Real Numbers చాప్టర్‌లో ఇది చివరి భాగం — Optional Exercise. ఇందులో Exercise 1.1, 1.2 లో నేర్చుకున్న అంశాలే (prime factorization, composite numbers, irrationality) కొంచెం higher-level గా, మరియు కొత్తగా Logarithms అనే అంశం కూడా కలిపి అడుగుతారు. ఈ Exercise కొంచెం కష్టంగా అనిపించవచ్చు, కానీ పద్ధతి తెలిస్తే సులభమే.

Question 1.

Can the number 6ⁿ, n being a natural number, end with the digit 5? Give reason.

Solution:

6ⁿ ఒక సంఖ్య 5 తో ముగియాలంటే, అది 5 చే భాగించబడాలి.

6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ

6ⁿ యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు (prime factors) 2 మరియు 3 మాత్రమే — ఇందులో 5 లేదు.

కాబట్టి 6ⁿ ఏ సహజ సంఖ్య n కైనా 5 తో ముగియదు.

Question 2.

Is 7 × 5 × 3 × 2 + 3 a composite number? Justify your answer.

Solution:

7 × 5 × 3 × 2 + 3
= 3 × (7 × 5 × 2 + 1)
= 3 × (70 + 1)
= 3 × 71

ఈ సంఖ్యని 3 మరియు 71 అనే రెండు కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయగలం.

కాబట్టి ఇది ఒక composite number.

Question 3.

Prove that (2√3 + √5) is an irrational number. Also check whether (2√3 + √5)(2√3 − √5) is rational or irrational.

Solution:

భాగం 1: 2√3 + √5 irrational అని నిరూపించడం

అనుకుందాం, 2√3 + √5 ఒక rational number అని.

అప్పుడు 2√3 + √5 = p/q అని రాయగలం (p, q integers, coprime).

రెండు వైపులా వర్గం చేస్తే:
(2√3 + √5)² = (p/q)²
12 + 5 + 4√15 = p²/q²
17 + 4√15 = p²/q²
4√15 = p²/q² − 17
√15 = (p² − 17q²)/4q²

కుడివైపు p, q integers కాబట్టి, ఇది ఒక rational number. కానీ √15 irrational — ఇది వైరుధ్యం.

∴ 2√3 + √5 అనేది ఒక irrational number.

భాగం 2: (2√3 + √5)(2√3 − √5) rational వా, irrational వా?

(a + b)(a − b) = a² − b² అనే identity వాడితే:

(2√3 + √5)(2√3 − √5) = (2√3)² − (√5)²
= 4 × 3 − 5
= 12 − 5
= 7

ఇది 7, ఒక rational number.

Question 4.

If x² + y² = 6xy, prove that 2 log(x + y) = log x + log y + 3 log 2.

Solution:

ఇచ్చినది: x² + y² = 6xy

రెండు వైపులా 2xy కలిపితే:
x² + y² + 2xy = 6xy + 2xy
(x + y)² = 8xy

రెండు వైపులా log తీసుకుంటే:
log(x + y)² = log(8xy)
2 log(x + y) = log 8 + log x + log y [∵ log(xy) = log x + log y, log xᵐ = m log x] 2 log(x + y) = log 2³ + log x + log y
2 log(x + y) = 3 log 2 + log x + log y

∴ 2 log(x + y) = log x + log y + 3 log 2 (నిరూపించబడింది)

Question 5.

Find the number of digits in 4²⁰¹³, if log₁₀2 = 0.3010.

Solution:

ఇచ్చినది: log₁₀2 = 0.3010

4²⁰¹³ = (2²)²⁰¹³ = 2⁴⁰²⁶

log₁₀(2⁴⁰²⁶) = 4026 × log₁₀2 [∵ log xᵐ = m log x] = 4026 × 0.3010
= 1211.826

ఒక సంఖ్యలో digits సంఖ్యని కనుక్కోవడానికి సూత్రం: characteristic + 1

ఇక్కడ characteristic (దశాంశ బిందువుకు ముందు ఉన్న భాగం) = 1211

∴ 4²⁰¹³ లో 1211 + 1 = 1212 digits ఉంటాయి.

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

(a+b)(a−b) = a² − b² identity, irrational numbers involve చేసే ప్రశ్నల్లో chాలా ఉపయోగపడుతుంది
Logarithm ప్రశ్నలకు మూడు ప్రధాన సూత్రాలు గుర్తుంచుకోండి: log(xy) = log x + log y, log(xᵐ) = m log x, మరియు log(x/y) = log x − log y
“digits సంఖ్య = characteristic + 1” అనే సూత్రం, పెద్ద సంఖ్యల్లో digits లెక్కించడానికి shortcut
ఈ Optional Exercise లో ప్రశ్నలు board exam లో 4-mark కేటగిరీలో వచ్చే అవకాశం ఎక్కువ, కాబట్టి ప్రాక్టీస్ చేయడం ముఖ్యం

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Optional Exercise లో ఏ కొత్త అంశం వస్తుంది?
Logarithms (Q4, Q5) — ఇది Exercise 1.1, 1.2 లో లేని కొత్త అంశం.

2. Optional Exercise పరీక్షలో తప్పనిసరిగా వస్తుందా?
ఇది “Optional” అని పేరు ఉన్నా, board exam లో ప్రశ్నలు రావొచ్చు, కాబట్టి ప్రాక్టీస్ చేయడం మంచిది.

3. (2√3+√5)(2√3−√5) ఎందుకు rational అవుతుంది, మరి 2√3+√5 ఎందుకు irrational?
ఒక irrational number ని దాని conjugate తో గుణిస్తే (a+b)(a−b)=a²−b² అనే identity వల్ల, చాలాసార్లు irrational భాగాలు (√ signs) cancel అయి rational number వస్తుంది. కానీ కేవలం 2√3+√5 అనే ఒక్క పదం మాత్రమే తీసుకుంటే, అది irrational గానే ఉంటుంది.