AP 10th Class Maths Chapter 6 – Triangles Exercise 6.2 Solutions

WhatsApp Group Join Now

Telegram Group Join Now

Exercise 6.1 లో Similar Figures పరిచయం చేసుకున్నాం, ఇప్పుడు Exercise 6.2 లో ఈ చాప్టర్‌కి పునాది అయిన Basic Proportionality Theorem (BPT / Thales Theorem) మరియు దాని converse ఎలా అప్లై చేయాలో నేర్చుకుందాం.

Key Concept: Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem)

ఒక త్రిభుజంలో, ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ, మిగతా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో (ratio) విభజిస్తుంది.

∆ABC లో DE || BC అయితే: AD/DB = AE/EC

Converse (విపర్యయం): ఒక రేఖ, త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తే, ఆ రేఖ మూడో భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

Question 1.

In figures (i) and (ii), DE || BC. Find EC in (i) and AD in (ii).

i) AD=1.5cm, DB=3cm, AE=1cm, EC=?

BPT ప్రకారం: AD/DB = AE/EC 1.5/3 = 1/EC EC = 1×3/1.5 = 2 cm

ii) AD=?, DB=7.2cm, AE=1.8cm, EC=5.4cm

AD/DB = AE/EC AD/7.2 = 1.8/5.4 = 1/3 AD = 7.2/3 = 2.4 cm

Question 2.

E and F are points on sides PQ and PR of ∆PQR. Check whether EF || QR.

i) PE=3.9, EQ=3, PF=3.6, FR=2.4

PE/EQ = 3.9/3 = 1.3 PF/FR = 3.6/2.4 = 1.5

1.3 ≠ 1.5 → EF, QR కి సమాంతరం కాదు.

ii) PE=4, QE=4.5, PF=8, RF=9

PE/EQ = 4/4.5 = 8/9 PF/FR = 8/9

సమానం → EF || QR

iii) PQ=1.28, PR=2.56, PE=0.18, PF=0.36

EQ = PQ−PE = 1.28−0.18 = 1.10 FR = PR−PF = 2.56−0.36 = 2.20

PE/EQ = 0.18/1.10 = 0.1636 PF/FR = 0.36/2.20 = 0.1636

సమానం → EF || QR

Question 3.

If LM||CB and LN||CD, prove that AM/AB = AN/AD.

Solution:

∆ABC లో, LM || CB BPT ప్రకారం: AM/AB = AL/AC … (1)

∆ACD లో, LN || CD BPT ప్రకారం: AL/AC = AN/AD … (2)

(1), (2) ల నుండి: AM/AB = AN/AD (నిరూపించబడింది)

Question 4.

If DE||AC and DF||AE, prove that BF/FE = BE/EC.

Solution:

∆ABC లో, DE || AC BPT: BD/DA = BE/EC … (1)

∆ABE లో, DF || AE BPT: BD/DA = BF/FE … (2)

(1), (2) ల నుండి: BF/FE = BE/EC (నిరూపించబడింది)

Question 5.

If DE||OQ and DF||OR, show that EF||QR.

Solution:

∆PQO లో, DE || OQ BPT: PE/EQ = PD/DO … (1)

∆POR లో, DF || OR BPT: PD/DO = PF/FR … (2)

(1), (2) ల నుండి: PE/EQ = PF/FR

∆PQR లో ఈ నిష్పత్తి సమానం కాబట్టి, Converse of BPT ప్రకారం: EF || QR (నిరూపించబడింది)

Question 6.

A, B, C are points on OP, OQ, OR such that AB||PQ and AC||PR. Show that BC||QR.

Solution:

∆OPQ లో, AB || PQ BPT: OA/AP = OB/BQ … (1)

∆OPR లో, AC || PR BPT: OA/AP = OC/CR … (2)

(1), (2) ల నుండి: OB/BQ = OC/CR

∆OQR లో ఈ నిష్పత్తి సమానం కాబట్టి, Converse of BPT ప్రకారం: BC || QR (నిరూపించబడింది)

Question 7.

Using Theorem 6.1, prove that a line through the midpoint of one side, parallel to another side, bisects the third side.

Solution:

∆ABC లో, DE || BC మరియు AD = DB (D మధ్య బిందువు) అనుకుందాం.

BPT ప్రకారం: AD/DB = AE/EC

AD=DB కాబట్టి, AD/DB = 1

కాబట్టి AE/EC = 1 → AE = EC

∴ DE, మూడో భుజం ACని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది (bisect చేస్తుంది).

Question 8.

Using Theorem 6.2, prove that the line joining midpoints of two sides is parallel to the third side.

Solution:

∆PQR లో, M, N లు PQ, PR ల మధ్య బిందువులు అనుకుందాం. PM = MQ → PM/MQ = 1 PN = NR → PN/NR = 1

కాబట్టి PM/MQ = PN/NR (రెండూ 1కి సమానం)

Converse of BPT ప్రకారం: MN || QR (నిరూపించబడింది)

Question 9.

ABCD is a trapezium with AB||DC, diagonals meet at O. Show that AO/BO = CO/DO.

Solution:

Trapezium ABCD లో AB || DC, AC మరియు BD లు O వద్ద కలుస్తాయి అనుకుందాం. O గుండా AB కి సమాంతరంగా OP గీయండి.

∆ABD లో, PO || AB BPT: AP/PD = BO/DO … (1)

∆ACD లో, PO || DC BPT: AP/PD = AO/CO … (2)

(1), (2) ల నుండి: AO/CO = BO/DO

దీన్ని పునర్వ్యవస్థీకరిస్తే: AO/BO = CO/DO (నిరూపించబడింది)

Question 10.

Diagonals of quadrilateral ABCD meet at O such that AO/BO = CO/DO. Show that ABCD is a trapezium.

Solution:

ఇచ్చినది: AO/BO = CO/DO → దీన్ని AO/CO = BO/DO గా రాయవచ్చు … (1)

∆ABD లో, O గుండా AB కి సమాంతరంగా PO గీయండి. BPT: AP/PD = BO/DO … (2)

(1), (2) ల నుండి: AP/PD = AO/CO

∆ACD లో ఈ నిష్పత్తి సమానం కాబట్టి, Converse of BPT ప్రకారం: PO || DC

కాబట్టి PO || AB మరియు PO || DC, అంటే AB || DC.

ఒక జత వ్యతిరేక భుజాలు సమాంతరంగా ఉన్న చతుర్భుజం trapezium అవుతుంది.

∴ ABCD ఒక trapezium. (నిరూపించబడింది)

ఈ Exercise నుండి గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

BPT ఎప్పుడూ ఒక త్రిభుజంలో, ఒక భుజానికి సమాంతర రేఖ ఉన్నప్పుడే వర్తిస్తుంది
“Prove that… parallel” తరహా ప్రశ్నలకు Converse of BPT వాడాలి (నిష్పత్తులు సమానం చూపించి, పేరలల్ అని నిరూపించడం)
Trapezium ప్రశ్నల్లో (Q9, Q10), diagonal meeting point గుండా ఒక సహాయక రేఖ (auxiliary line) గీయడం కీలకమైన టెక్నిక్
మిడ్‌పాయింట్ థియరమ్‌లు (Q7, Q8) BPT యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలు (special cases) మాత్రమే

Frequently Asked Questions (FAQs)

1. Basic Proportionality Theorem ఎవరు కనుక్కున్నారు? దీన్ని Thales Theorem అని కూడా అంటారు, గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త థేల్స్ పేరు మీద.

2. BPT, దాని Converse మధ్య తేడా ఏమిటి? BPT: రేఖ సమాంతరంగా ఉంటే → నిష్పత్తులు సమానం. Converse: నిష్పత్తులు సమానం అయితే → రేఖ సమాంతరం.

3. Trapezium ప్రశ్నల్లో ఎందుకు సహాయక రేఖ గీయాలి? ఎందుకంటే ట్రెపీజియంలో నేరుగా BPT వర్తించదు (అది త్రిభుజాలకే వర్తిస్తుంది) — సహాయక రేఖ గీయడం ద్వారా చిన్న త్రిభుజాలు ఏర్పరచి, వాటికి BPT వర్తింపజేయవచ్చు.